文档介绍：抛物线及其标准方程
3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？
1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；
2、物理中研角 ,求
.
练习3
4
(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
抛物线的简单几何性质
P(x,y)
一、抛物线的几何性质
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
所以抛物线的范围为
关于x轴
对称
由于点 也满
足 ，故抛物线
(p>0)关于x轴对称.
y2 = 2px
y2 = 2px
2、对称性
P(x,y)
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
P(x,y)
由y2 = 2px （p>0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
３、顶点
4、离心率
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。
特点：
,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
,没有
对称中心;
、
一个焦点、一条准线;
,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P(x,y)
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程。
变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（２， ），抛物线的标准方程。
例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 经过点P(-2,1),,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.
练1:已知直线过点(0,-2)且与x2=2y恰有
一个公共点,求直线方程
判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
例3：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。
(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.
例6：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的
最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.
例5：已知抛物线 上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于
直线y=x+m对称,若x1x2=-1/2,则m的值为________
=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线
的倾斜角是______
例7、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。