文档介绍：参赛队员：队员1王建明 队员2程建良队员3杨李
指导教师：教练组
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括，中心点高度Z为各层所测高度 的平均值。每层通过用中心坐标到各点的坐标总距离最小求得中心点（X, Y） 坐标。
对于问题2,塔的倾斜情况我们通过求出各年各层的中心点坐标，每一年的 倾斜角我们通过空间拟合出各层中心点的坐标得到。特别说明，通过线性拟合发 现1986、1996第13层的中心点坐标异常，所以空间拟合时我们去除1986、1996 年第13层的坐标进行拟合，同时计算出倾斜角。
对于问题2,塔的弯曲情况我们通过各中心点连线的和与塔顶到塔底两中心 点的距离的比值来分析，比值越大，弯曲越明显。
对于问题2,塔的扭曲情况，根据古塔各年份之间每层边缘点的扭转情况， 来分析整个塔的扭转情况。
对于问题3,塔的变形趋势，我们对塔四年的倾斜程度、弯曲度作非线性拟 合，通过拟合成函数，预测塔未来的倾斜、弯曲情况。对于塔的扭曲情况通 过问题2的求解，发现古塔没有发生扭转，所以我们不考虑古塔的扭转趋势。
三、模型假设
1、 假设每年每层测得的数据没有错误。
2、 假设各层测得的数据在同一平面内。
3、 假设各层测的的点的连线为多边形。
4、 假设古塔在各年份之间每层所测的点在同一平面内。（该假设针对塔的扭转程 度的分析）
5、 假设中心点到各边缘点之间的总和最短。
四' 符号说明
ak
古塔各层的中心点X轴坐标
瘫
古塔各层的中心点Y轴坐标
古塔各层的中心点Z轴坐标
古塔各层所测点的X轴坐标
古塔各层所测点的丫轴坐标
古塔各层所测点的Z轴坐标
k
古塔的层数
a
倾斜角度
0
弯曲程度系数
£
边缘点扭转角的平均值
五、模型的建立
. 对于问题1：设古塔中心坐标为，古塔各层各点坐标为
Qxi,yi,zi ），且有K层。各层中心坐标求解如下：
在1986年和1996年；
当 ^=1-12 时：
min⑹=£』（兀一色）2+（必一乞）2
Z=1
<
8
c严工（z,）/8
、 z=l
当k=13时:
min 伙）=工 —色）2+（乂—优）2
Z=1
<
7
C严工（z,）/7
、 /=1
（^=1-12）
213）
当k=14时:
min 伙）=£j（x：—aJ+（X—bJ
Z=1
4
C严工（z,）/4
Z=1
214）
在2009年和2011年; 当^=1-13 时：
min 伙）=£』（兀一色）2+（必一$）2
i=l
<
8
C严工（zJ/8
、 z=l
当k=14时：
< min（切=J（Xj—色尸+①―仇尸
. Q = zi
（心….13）
（—14）
对于问题2的塔的倾斜问题，
我们对各层的中心点坐标通过三维空间拟合成直线，然后将直线投影在平 面上，直线与平面上的投影的夹角就是它的倾斜角。分析如下：
空间拟合直线AB与平面DEFG的夹角设为a , AC为直线AB在平面DEFG上 的投影，tan a =
AC
因为A点在平面上，Z, =0；因为C为B点的垂直投影，所以BC = Z2 -,
AC = J（*2 1 X] ）2 + （丁2 - "）2
BC z°
tan a = = * -
AC 』（兀2 —西）2 +（丁2 — V1）2
z°
a = arctan * “ 一
』（兀2—召）一+。2—刃）-
对于问题2的塔的弯曲问题， 设各层坐标为xi,yj,zi , z=l---14；
引入一个弯曲程度变量0
Y 丁（兀+1 —兀）2 +（X+1 —X）2 +（z“] —Z,y
0=「打 ， ， ，
J（X]4 — X]）' + （y14 - X）' + （勺4 — Z]）'
0越大，说明弯曲越明显。
对于问题2的塔的扭曲问题， 我们先建立直线夹角模型如下:
(x3^y3)
根据给定的节点示意图如上，已知A(^,yJ, B(x2,y2), C(x,,y3),计算直线AB和BC的夹 角信息。根据向量内积，得到计算结果公式为：
thetal = €zcosd^dot^x^ -x2,y1 - y2])/ (normCl^ -x2,y1 -y2])*norm([xl 一兀2,乃 一 ％])))；
在现实生活中，斜塔发生弯曲时，可能会发生扭曲变形