文档介绍：关于二次型及其规范形
第一张，共十五张，创建于2022年，星期一
定理任一秩为r的二次型
均可经过适当的可逆线性替换化为
其中关于二次型及其规范形
第一张，共十五张，创建于2022年，星期一
定理任一秩为r的二次型
均可经过适当的可逆线性替换化为
其中，，
。
第二张，共十五张，创建于2022年，星期一
推论任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式
的对角矩阵
其中。
第三张，共十五张，创建于2022年，星期一
设是 n元二次型，且秩(A) = r：
1．f 是复二次型
存在可逆复线性替换把 f 化为
其中。
再令
第四张，共十五张，创建于2022年，星期一
则 f 被进一步变为
称上式为复二次型的规范形。
定理任意复二次型均可经过适当的可逆复线性
替换化为规范形且规范形唯一。
推论对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存
在n阶可逆复矩阵C ，使得
第五张，共十五张，创建于2022年，星期一
例设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复数域
上合同的充分必要条件是
2．f 是实二次型
存在可逆实线性替换把 f 化为
其中。
第六张，共十五张，创建于2022年，星期一
再令
则 f 被进一步变为
称上式为实二次型的规范形。
定理（惯性定理）任意实二次型均可经过适当的
可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。
第七张，共十五张，创建于2022年，星期一
推论对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A，一定
存在n阶可逆实矩阵C，使得
其中p由A唯一确定。
定义在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是
1(或 -1)的平方项个数 p(或 r -p )称为 f 的正(或负)惯
性指数，称 2p - r为 f 的符号差。
第八张，共十五张，创建于2022年，星期一
注实二次型的任一标准形中，系数大于(小于)零
的平方项个数即为正(负)惯性指数。
例已知实对称矩阵
与下述三个对角矩阵
之一合同，试确定之。
第九张，共十五张，创建于2022年，星期一
解考虑二次型
对其作可逆线性替换
则
第十张，共十五张，创建于2022年，星期一
由此得 f 的正、负惯性指数均为1。
而二次型
中，只有的正、负惯性指数均为1。所以，f 只能
通过非退化线性变换为，即 A只能与合同。
例设 A是n阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若
，则存在n维非零列向量，使
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第十一张，共十五张，创建于2022年，星期一
证明考虑 n元二次型
用正交替换把其化为标准型
则
第十二张，共十五张，创建于2022年，星期一
因，，且 n为奇数，所以
均不为零且至少有一个大于零。不妨设
。
取 n维列向量，则
第十三张，共十五张，创建于2022年，星期一
令。因可逆，故
且
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第十四张，共十五张，创建于2022年，星期一
感谢大家观看
第十五张，共十五张，创建于2022年，星期一