线性代数总复习.ppt

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矩阵
m×n个
展开式
计算
应用
代数余子式
一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式.
行列式
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
可按任意一行(列)展开
克拉默法则(求解线性方程组有唯一解的一种方法)
齐次线性方程组有非零解的充分条件
化三角行列式法
递推法
数学归纳法
降阶展开法
拆项法
…
行列式
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
其它几个重要定理及结论：
定理 n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零. 即
ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i  j)
a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i  j).
上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
行列式
例1
解
例2 ：求四阶行列式
0
3
1
0
3
4
2
0
3
5
0
0
2
1
1
1
2
1
4
1
3
1
2
-
-
-
-
-
-
+
r
r
r
r
r
r
设A是3阶方阵，且
求
例3
解:
n维向量
n维向量
n维向量
运算
线性表示
线性相关性
k11+k22+…+knn= 0
ki均为0，则1, 2, …, n线性无关
只要有一个ki不为0，1, 2, …, n
线性相关
极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个极大线性无关组。
求法：非零子式法、初等变换法
极大无关组包含的向量的个数
极大无关组
向量组的秩
向量组与矩阵的关系
矩阵A = (1, 2, …, s)
列向量组: 1, 2, …, s
注：行向量的问题与列向量相同
矩阵A的秩r(A)
向量组的秩r
最高阶非零子式
极大线性无关组
n维向量
定义：
向量内积
对称性: [, ] = [, ];
(2) 线性性: [k11+k22,]= k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ]  0; 且[, ] = 0  = 0 .
(4) |[, ]|  [, ] [, ].
性质：
正交：
施密特(Schmidt)正交化方法
若[, ] = 0, 则称与正交.
n维向量
正交矩阵
A为正交矩阵
ATA=E
n维向量
n维向量
n维向量
线性方程组
Ax=b
b=0?
齐次方程组
是
否
非齐次方程组
行阶梯形矩阵
初等行变换
R(A)n
R(A)＝ R(A b)
解的结构
基础解系
有无非零解
有解判定
线性方程组
线性方程组
向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系
有解

无解

向量b能由1, 2, …, n线性表示？
是
否
Ax=(1, 2, …, n)x=b
有无穷多组解

有唯一解

有效方程数少于未知数个数？
R(A)＝R(A b)?
是
否
R(A)＝R(A b)n ?
无
有
Ax=b有矛盾方程?
方程组有解
方程组无解


否

是

是

否

线性方程组
向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系
有非零解

只有零解

向量组1, 2, …, n线性相关？
是
否
Ax=(1, 2, …, n)x=0
R(A)n

R(A)=n

注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。
只有零解

有无穷多组非零解

R(A)＝n?
是
否
有效方程数少于未知数个数？
否
是


线性方程组
例5. 求
的基础解系与通解.
解:
初等行变换
该方程组的基础解系可取为
通解为
线性方程组
解:
初等行变换