文档介绍：目录
摘要 1
1引言 2
2矩阵间的三种关系 2
2
3
,矩阵的相似关系 3
3矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 4
4
B1 =(P1AP)1 = P1A1P.
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
⑻相似的矩阵有相同的行列式；
即：如果B = P1 AP，则有：| 8| = |b'AP| = |k||A||P| = |A|
(9)相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设8 = P~XAP,若8可逆，则= (P 'AP)1 = PA '"1相似.
若8不可逆，贝ij (P1 AP)不可逆，即A也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
.
矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别
，但等价矩阵未必为相似矩阵.
证明：设"阶方阵A, 3相似，由定义3知存在"阶可逆矩阵使得P^APX = B ,此时若记
P = P；\Q = PX，则有PAQ = B,因此由定义1得到"阶方阵A,3等价
[100) [121)
但对于矩阵A = ,B= 等价，A与3并不相似，即等价矩阵未必相似.
(0 1 oj ^0 1 oj
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
：对于"阶方阵A,B,若存在"阶可逆矩阵P,Q使PAQ = B,(A与B等价)，且PQ = E
(E为&阶单位矩阵)，则A与B相似.
证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ = B, = E,
若记P = ,那么Q = g,也即/fiA* =3,则矩阵A,3也相似.
：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.
证明：设〃阶方阵合同，由定义2得，存在"阶可逆矩阵使得P^AP, = B ,若记
p = *「，Q = *，则有PAQ = 3因此由定义1得到n阶方阵A, B等价
(1
但对于矩阵A=
〔0
0) f1 2)
,B= 等价，A与3并不合同，即等价矩阵未必合同.
1J "0 I,
什么时候等价矩阵是合同的？
只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵
合同矩阵未必是相似矩阵
例 单位矩阵E与2E.
两个矩阵的正负惯性指数相同故合同
但作为实对称矩阵的特征值不同，故不相似
相似矩阵未必合同
例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似 矩阵不是合同矩阵 ：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵.
证明：若存在一个正交矩阵P,即PtP = E使得P lAP = B即A〜3,同时有B = P XAP = PTAP , 所以A与3合同.
同理可知，若存在一个正交矩阵P,使得PtAP = B即A与B合同，则有
B = PtAP = P-1AP n A 〜B
：如果A与B都是"阶实对称矩阵，.
证明：设A与8的特征根均为&由于A与"阶实对称矩阵，一定存在一个"阶正交矩阵
同时，一定能找到一个正交矩阵P使得
Q使得Q「项。=
k
,从而有Q-iAQ = pT时
仔
P'BP =
将上式两边左乘P和右乘P 1，得B = PQ lAQP l =(QP 1尸=(QE尸A(QP 1)
由于 QTQ = E , PTP = E , P lP = E
有l）r（QP1） = （^1 ）rQ^P1 =l）r EP 1 = PP l = E ,所以，Q pT是正交矩阵，由定 理知A与B相似.
：若"阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与相似且合同.
证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取1；=入，有U-'ABU = A：'ABA =（A-*A）（BA） = BA ,则
AB与BA相似，又知A是正交阵，由合同矩阵的定义知AB与BA既相似又合同.
：若A与3相似且又合同，。与D相似也合同,
则有
'B 0、
、0 D,
既相似又合同.
证明：因为A与3,C与。相似，则存在可逆矩阵*,己,
使*-顷*=昆己-1定=。，令
，则pT
且pT
‘B 0、
、0 D,
'A 0、
、0 C,