文档介绍:第二型曲线曲面积分的计算方法
PB07210153 刘羽
第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相用的方法,将其转化为定积分,应用
时要特别注意上下限的确定(根据所给的方向而不是大小)。
设有向曲线 L 的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应 t=a,终点对
应 t=b,则
P d x Q dy R d z
L
b[P (x (t ) ,y (t ) z, t( )x) t' ( )Q x (t ( y) ,t (z) t, (y ) )t ' (P) x t ( y]( t) , z t z t d t
a
计算时只要将所有量(包括微分量)用参数变量表示出来即可,不需记忆此
式。
例 1 求 曲 线 积 分 ydx zdy xdz , 其 中 L 是 x y 2 与
L
x 2 y 2 z 2 2(x y) 的交线,从原点看去是逆时针方向。
解:在曲线 L 满足的方程组中消去 y 并化简得 2( x 1) 2 z 2 2 ,可知 L 在 Ozx
平面上的投影曲线是椭圆 2( x 1) 2 z 2 2 ,注意到坐标原点在平面 x y 2 的x 的一侧,所以从 x 轴正方向看曲线是顺时针方向。
设 z 2 cos t, x 1sin t, y 2 x 1sin t,0t 2 ,且其方向是参数减少
方向,从而
y d x z dy xdz0 [ (1 sti n ) tco s 2t c o s t( c os ) t (1 s i nt )d( t 2 s i n ) ]
L 2
2 2dt 2 2
0
(3)利用第二型曲线积分的性质,如用分段法,分项法,方向性来简化
计算。
(4)利用 Green 公式和 Stokes 公式。
Q P
Green 公式: Pdx Qdy ( )dxdy
L x y
D
Stokes 公 式 :