文档介绍：南京航空航天大学
非线性系统控制大作业
二阶机械臂的非线性反馈设计
姓名：XXX
学号：XXX
专业： XXX
实验对象：二阶机械臂的非线性反馈设计
一二阶机械臂的动力学控制模型
图1模型在垂直平面内的投影
丫使系统成为一个完全可控的线
性系统，令
i 2i
a XLgLfh xL2fh x A i X b X
ii
BX LgLfh x Ai X
其中 .2 .
AXLgiLfhi X Lg2Lfhi X bXLfhiX
LgiLfh2 XLg2Lfh2 X ,L2h2 X
通过反馈和坐标映射，系统可变为Brunovsky标准型
Lfhi(X)
ziLfN(X) ,__ z2_
Z2xxL2fhi(x) LgLfhi(X) (x) LgLfhi(x) (x)v1
Z3L*2(x)Z4
Z4Lf h2(x) ,L2fh2(x) LgLfh2(x) (x) LgLfh2%) (x)%
x
010000
000010
z v
(14)
000100
000001
10 0 0 z
0 0 10
0 10 0
0 0 0 0
A
0 0 0 1
0 0 0 0
10 0 0
C
0 0 10
三二阶机械臂的最优控制
v是Brunovsky标准型线性系统中的控制输入，拟运用LQR方法进行求解，确定最优控制律，使系统实际输出尽可能逼近理想输出。该问题属于无限时间、定常输出跟踪问题。
首先定义性能指标
1 TT
J - 0 e t Qe t v t Rv t dt(15)
式中，Q为4 4、R为2 2的正定对称常数矩阵，e⑴? y(t)为
误差输出向量，？是期望输出。
根据二次型最优控制理论，可以知道当性能指标 J最小时，输入
应为
v* tR 1BTPzt R 1BTg?
1
其中，g P?BR 1BT AT CTQ?为常值伴随向量，P?为正定矩阵,
(16)
满足如下Riccati方程
P t Pt A AT Pt P t BR 1BTP t Q
最优控制信号依赖于状态变量x（t）和Riccati方程的解，在静态状
态变量下假设tf
时，可使系统的状态趋近于0, P?是P(t)=0时的
常值矩阵，在此种情况下，Riccati方程被简化为
P?A AT P? PBR^tF ctqc
上式被称作Riccati Algebrai防程。
100
0 Q
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
利用Matlab工具求解Riccati方程得

q 10
P
0
0
10

0
0
0
0

10
0
0
10

则P正定，满足Riccati方程。
利用Matlab进行LQR求解，得
10 K
0

0
0 0
10

10
P
0
0
10

0
0
0
0

10
0
0
10

与求解Riccati方程所得结果一致
四控制对象的MATLAB仿真
在Simulink仿真环境下搭建完整控制系统，如错误!未找到引用源。所示：
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图2 Simulink仿真框图
选择期望输入信号为
x1 -t
4
sin t
4
输入信号给定的理想输出轨迹线设定为长半轴为，短半轴为，焦点在y轴上的椭圆形轨迹。利用上面搭建的Simulink仿真图运行程序，可得到给定轨迹曲线、跟踪轨迹曲线、误差轨迹曲线。
图3轨迹跟踪曲线
误差曲线

m 0
-
-
-
-
-
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