文档介绍：非周期信号的频谱分析的数学工具：傅里叶变换
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换（Fourier Transformation，简称FT）。
傅立非周期信号的频谱分析的数学工具：傅里叶变换
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换（Fourier Transformation，简称FT）。
傅立叶变换
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期T∞，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。
非周期信号的频谱
周期信号x(t)，在[-T0/2, T0/2]区间内
式中，
当T0→∞时，
①积分区间由[-T0/2,T0/2]变为(-∞,∞)；
② ω0=2π/T0 →0， →离散频率nω0→连续变量ω。

非周期信号的频谱
非周期信号： 周期T0 →∞的周期信号
周期信号x(t)，周期为T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的频率间隔为∆ω=ω0=2π/T0。
当T0→∞，则ω0=∆ω→0，
信号频谱谱线间隔∆ω=ω0→0，无限缩小，
相邻谐波分量无限接近，
离散参数nω0可用连续变量ω来代替，
离散频谱变成了连续频谱，
求和运算可用积分运算来取得，
所以非周期信号的频谱是连续的。
X(jω)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(jω)称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。
一般为复数，用X(jω)表示为：
X(jω)称为信号x(t)的傅立叶变换。
非周期信号的频谱

当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
→
非周期信号的频谱

由于ω=2πƒ
-f 连续幅值谱
-f 连续相位谱
非周期信号的频谱
例：方波信号的复频谱

非周期信号的频谱
例：方波信号的复频谱
0
N为偶数
N为奇数
ω0
3ω0
5ω0
7ω0
-7ω0
-5ω0
-3ω0
-ω0
Cn
ω
0
频谱图：
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的表达式：
矩形脉冲函数的频谱
t
x(t)
0
1
矩形脉冲信号可视为一个周期T趋近于无穷大的
方波信号.
由于：
，
，
所以：
非周期信号的频谱
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
t
x(t)
0
1
频谱函数为：
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数值：
频谱图：
非周期信号的频谱
对比:方波谱
ω0
3ω0
5ω0
7ω0
-7ω0
-5ω0
-3ω0
-ω0
Cn
ω
0
矩形脉冲
频谱图：
离散谱
连续谱
非周期信号的频谱

①|X (jƒ)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；
②|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振幅)，而|X (jƒ)|的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振幅/频率）。
非周期信号幅值谱|X (jƒ)|与周期信号幅值谱|Cn|之间的区别：
非周期信号的频谱

(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数；
(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即X(jƒ)= ReX(jƒ)；
(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)；
(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数；
(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
(1).奇偶虚实性
非周期信号的频谱
(2).对称互易性
若:(时域信号) x(t) ↔ X(jƒ) (频域信号)，则
X (jt) ↔ x (-jƒ)
非周期信号的频谱
(3).尺度特性
若x(t) ↔ X(jƒ)，则
x(kt) ↔ 1/|k