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二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ ，四边形能否形成矩形若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．
设抛物线的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是．
（2）由（1）可计算得点．
过点作，垂足为．
当运动到时刻时，，．
根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．
所以．
所以，四边形的面积．
因为运动至点与点重合为止，据题意可知．
所以，所求关系式是，的取值范围是．
（3），（）．
所以时，有最大值．
提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形能形成矩形．
由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．
所以．所以．
所以．解之得（舍）．
所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．
（1）确定的值：；
（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：
；
（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）　　
　（2）　　
　　（3）存在的值，有以下三种情况
　　　　①当时
　　　　　，则
　　　　②当时
　　　　　得
　　　　③当时，如图
　　　　　解法一：过作，又
　　　　　　　　　则
　　　　　　　　　又
　　　　　　解法二：作斜边中线
　　　　　　　　　　则，
　　　　　　　　　　此时
　　　　　　解法三：在中有
　　　　　　　　　　（舍去）
　　　　　　　　　　又
　　　　　　　　　　当或或时，为等腰三角形．
解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去
，已知直线与抛物线交于两点．
（1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与
构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
P
A
图2
图1
[解] （1）解：依题意得解之得
（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）
图1
D
M
A
C
B
第26题
Ｅ
由（1）可知：
过作轴，为垂足
由，得：，
同理：
设的解析式为
的垂直平分线的解析式为：．
（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．
抛物线与直线只有一个交点，
，
P
A
图2
H
G
B
在直线中，
设到的距离为，
到的距离等于到的距离．
另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求正方形的边长．
（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）