文档介绍：第七章不等式 不等关系与不等式理
(1)作差法(a,b∈R);
(2)作商法(a∈R,b>0).
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b,b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a+c>b+c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a+c>b+d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
a,b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)
(1)倒数的性质
①a>b,ab>0⇒<.
②a<0<b⇒<.
③a>b>0,0<c<d⇒>.
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
(2)有关分数的性质
若a>b>0,m>0,则
①<;>(b-m>0).
②>;<(b-m>0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( √)
(2)若>1,则a>b.( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )
(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × )
(5)a>b>0,c>d>0⇒>.( √)
(6)若ab>0,则a>b⇔<.( √)
<b<0,则下列不等式中不成立的是( )
A.> B.>
C.|a|>-b D.>
答案 B
解析由题设得a<a-b<0,所以有<成立,
即>不成立.
2.(教材改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的( )
答案 A
解析->0⇒>
⇒a>b⇒a2>b2,
但由a2-b2>0⇏->0.
,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是( )
-b>0 +b3>0
-b2<0 +b<0
答案 D
解析由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,
当b≥0时,a+b<0成立,
当b<0时,a+b<0成立,∴a+b<.
∈R,且a2+a<0,则a,a2,-a,-a2的大小关系是________________.
答案 a<-a2<a2<-a
解析由a2+a<0得a<-a2,
∴a<0且a>-1,∴-a2<a2<-a.
5.(教材改编)若0<a<b,且a+b=1,则将a,b,,2ab,a2+b2从小到大排列为________________.
答案 a<2ab<<a2+b2<b
解析∵0<a<b且a+b=1,
∴a<<b<1,∴2b>1且2a<1,
∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a
=-22+<.
即a<2ab<,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>,
a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0,
∴a2+b2<b,
综上,a<2ab<<a2+b2<b.
题型一比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )
<N >N
=N
(2)若a=,b=,c=,则( )
<b<c <b<a
<a<b <a<c
答案(1)B (2)B
解析(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)
=a1a2-a1-a2+1
=a1(a2-1)-(a2-1)
=(a1-1)(a2-1),
又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),
∴a1-1<0,a2-1<0.
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.
∴M>N.
(2)方法一易知a,b,c都是正数,=
=log8164<1,
所以a>b;
==log6251 024>1,
所以b><b<a.
方法二对于函数y=f(x)=,y′=,
易知当x>e时,函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),
即c<b<a.
思维升华比较大小的常用方法
(1)作差法:
一般步骤:①作差;②变形;③定号;④,常采用配方、因式分解、,有时也可以先平方再作差.
(2)作商法:
一般步骤:①作商;②变形