伯努利方程的解法.docx

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引言 1
.伯努利方程的解法 1
变量代换法 1
一般解法 1
函数变换法 2
求导法 3
恰当导数法 3
常数变易法 4
积分因子 -n
y e
(n」)p(x)dx (1 -n) p(x)dx
， [(1-n),Q(x)e
dx + c] . [3] C为任意常数

一 p(x)dx
令u(x) -e
即：
. 一 p(x)dx
有 u (x) = -p(x)e
则()式变形为:
y -需y=Q(x)广⑶儿，
U (X) nJ y .nJ
=Q(x)u (x)[——], u(x) u(x)
(lny) -(lnu) =Q(x)un」(x)[ —]n」,
u(x)
(ln?) =Q(x)un」(x)[±n'，
u u(x)
设y = uz得：
(Inz) =Q(x)un」(x)zn」，
F
q=Q(x)un'(x)(可分离变量微分方程) z
两边积分解之得：
z1」=(1 -n)[ Q(x)un'(x)dx c],
用z = 2 , u(x) =e-p(x)dx,回代得伯努利方程的通解为： u
1 (n」)p(x) dx (1_n) p(x)dx 口
yj=(1 — n)e 」[fQ(x)e J dx+c]. 4」C 为任意常数

常数变易法一：
()式的齐次方程的通解为：
-p(x)dx
y = ce ' .
设原方程()式的通解为：
Ip(x)dx
y=c(x)e' ，
代入()式得：
-p(x)dx n -n |'p(x)dx
c (x)e =c (x)e L Q(x).
这是一个可分离变量的微分方程，可求出 c1(x) .
1 (1 .n) p(x)dx
即： c (x) =(1-n)[ JQ(x)e 」 dx + c],
则原方程的通解为：
1 n (n J) p(x)dx (1 _n) p(x) dx 5 '
y =(1—n)e J [JQ(x)e J dx + c] . 5」C为任意常数
常数变易法二：
dy=Q x yn
本方法的创新之处是先解方程 dx (),
利用变量分离法解式(a)得：y j=(1-n) ♦[ JQ(xdx + c],
现把常数c变易为待定的函数 c( x),即y j=(1-n) •[ fQ(xdx + c (x) ] (),
y,虫二q x .空JL
对式(b)两边求微分得： dx dx……(),
dc x = n -1 p x । iQ x dx c x
由()、()、()式得 dx 「 J 利用一阶线
性 方 程 的 通 解 公 式 得
c(x 户e(n/ypM\ f(n -1 )p(x )〕Q (x Jdxe'"眄、'% 十c1 ] - (),
把 式 () 代 入 式 () 得
yL )=(1 -n) JQ(x Jdx +(1 ―口溪沙」「[ j(n -1 Jp(x “Q(x )dxe” 眄、[dx + c] ,
利用分部积分公式judv uv jvdu，令u JQ (x ***@x,v = e(…啊甘，则伯努利方
y»(1-n)en,p，Q x e2Pxdxdx , c fcl
程的通解为 j 1. 6」C为任意常数。
当n>0时，方程还有解y=0.
积分因子法
将()式两端同除以yn整理为：(p(x)y1」-Q(x))dx+y』dy = 0 ()
M x, y = p(x)y1,—Q(x), N x, y = y"
则:
1
N x,y
fM x,y 汕 x, y
(——: 一一:——)=(1 — n)p(x)
-:y
只是关于x的函数，则其积分因子为u(x),
(1_n) p(x)dx
u (x) = e
二 (1 _n) p(x)dx
将u(x)=e1 乘以()式得:
(1 -n)
Q(x)e
p(x) dx (1 -n) p(x)dx 1 (1-n) p(x)dx
()
L dx = y e dy + y p(x)e ， dx
对()式右边进行凑微分得：
(1-n)Q x e1" ""dx 'dy1%1" pxdx
两边同时积分得：
J(1 -n )Q (x e" I")'dx +c = y je"眄,，
整理得：
y j =el "p' dx (J(1 -n )Q (x el 「dx + g)
令 0=