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本科毕业论文
题目：二重极限的计算方法
摘要
函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明……………………………………………………………………14
参考文献………………………………………………………………15
致谢………………………………………………………………………16
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序言
二元函数的极限是在一元函数极限的根底上开展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于*店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但假设能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量的不同变化趋势和函数的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
1、二重极限的计算方法小结
利用特殊路径猜得极限值再加以验证
利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。
例1 、讨论，在点(0,0)的极限。
解：令
应为此路径为特殊路径，故不能说明可以猜想值为0。
下面再利用定义法证明：，取
当有
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由于即有
故
注意〔1〕的任意性
〔2〕一般随而变化
〔3〕假设函数以A为极限，则对函数在的*去心邻域内有范围〔A+，A-〕。
由累次极限猜想极限值再加以验证
先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证
例2 、设。求
解：可以猜想有极限值为0. 事实上对任意的
有，
取，当，，时，
就有，即有
采用对数法求极限
利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的方法求得结果。
例3 、求
解：
因为而且
所以
利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限
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类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之
例4 、求〔1〕〔2〕
解：〔1〕因为，
所以
〔2〕由于 ,
又因为
所以
等价无穷小代换
利用一元函数中已有的结论对式子进展必要的代换以到达简化的目的，进而求出所要求的极限
例5 、求
解：因为故有
所以等价于
故原式为
注无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的"乘除时可以替换，加减时不可随意替换〞
利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量
充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6 、求
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解：因为
而为有界变量
又故有原式=0
多元函数收敛判别方法
当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7 、求
解：由而，故可知
变量代换将二重极限化为一元函数中的极限
有时为了将所求的极限化简，转化为的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当，二元函数的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中的极限转化，相应有从而求得结果。
例8 、求
解；令则当时，
于是
2、讨论当时，二元函数的极限，作变量代换，相应有，利用一元函数的极限公式。
例9 、求