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则 2  f (1)，3  f (2)，，n1  f (n)
a a a a
n 1 2 n
a n
两边分别相乘得， n1  a  f (k)
a 1
1 k 1
例 3 已知数列{a }满足 a  2(n 1)5n  a ，a  3，求数列{a }的通项公式。
n n1 n 1 n
a
解：因为 a  2(n 1)5n  a ，a  3，所以 a  0 ，则 n1  2(n 1)5n ，故
n1 n 1 n a
na a a a
a  n  n1   3  2 a
n a a a a 1
n1 n2 2 1
 [2(n 11)5n1][2(n  2 1)5n2 ] [2(2 1)52 ][2(11)51]3
 2n1[n(n 1) 3 2]5(n1)(n2) 21 3
n(n1)
 3 2n1 5 2  n!
n(n1)
所以数列{a }的通项公式为 a  3 2n1 5 2  n!.
n n
三、待定系数法适用于 a  qa  f (n)
n1 n
分析：通过凑配可转化为 a   f (n)   [a   f (n)] ;
n1 1 2 n 1
解题基本步骤：
1、确定 f (n)
2、设等比数列a   f (n)，公比为 
n 1 2
3、列出关系式 a   f (n)   [a   f (n)]
n1 1 2 n 1
4、比较系数求  ， 
1 2
5、解得数列a   f (n)的通项公式
n 1
6、解得数列a 的通项公式
n
例 4 已知数列{a }中， a  1,a  2a 1(n  2) ，求数列a 的通项公式。
n 1 n n1 n
解法一： a  2a 1(n  2),
n n1
又 a 1 2,a 1是首项为 2，公比为 2 的等比数列
1 na 1  2n ，即 a  2n 1
n n
解法二： a  2a 1(n  2),
n n1
两式相减得 a  a  2(a  a )(n  2) ，故数列a  a