文档介绍：求数列通项公式的八种方法
一、公式法(定义法)
根据等差数列、等比数列的定义求通项
二、累加、累乘法
1、累加法适用于:
若,则
两边分别相加得
例1 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一:由得则
所以
解法二:两边除以,得,
则,故
因此,
则
2、累乘法适用于:
若,则
两边分别相乘得,
例3 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
三、待定系数法适用于
分析:通过凑配可转化为;
解题基本步骤:
1、确定
2、设等比数列,公比为
3、列出关系式
4、比较系数求,
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例4 已知数列中,,求数列的通项公式。
解法一:

又是首项为2,公比为2的等比数列
,即
解法二:

两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……
例5 已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一:设,比较系数得,
则数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,即
解法二: 两边同时除以得:,下面解法略
注意:例6 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设
比较系数得,
所以
由,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
注意:形如时将作为求解
分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。
例7 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:设
比较系数得或,不妨取,
则,则是首项为4,公比为3的等比数列
,所以
四、迭代法
例8 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:因为,所以
又,所以数列的通项公式为。
注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法适用于指数关系的递推公式
例9 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:因为,所以。
两边取常用对数得
设 (同类型四)
比较系数得,
由,得,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。

2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例10 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,
3、换元法适用于含根式的递推关系
例11 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:令,则
代入得
即
因为,
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。
例12 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由及,得
由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
七、阶差法
1、递推公式中既有,又有
分析:把已知关系通过