文档介绍：Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
普通高等学校招生全国统一考试
2019年普通高等学校招生全国统一考试1
数 学(理科)
一、选择题：本大题共平面平面，为的中点，，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知在中，所对的边分别为，且有．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的最大值．
18．如图，底面是边长为3的正方形，平面，∥，，与平面所成角为．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）现从“关注度”在的男生与女生中选取3人，设这3人来自男生的人数为，求的分布列与期望；
（3）在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．
20．已知椭圆的焦点分别为，，离心率，过左焦点的直线与椭圆交于两点，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆有两个不同的交点，且点在点之间，试求和面积之比的取值范围（其中为坐标原点）．
21．已知函数．
（1）判断函数在区间上零点的个数；
（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于两点，求点到两点的距离之积．
23．（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图象，并写出不等式的解集（不要求写出解题过程）；
（2）若不等式对任意的恒成立，
求的最小值．
2019年普通高等学校招生全国统一考试1
数 学(理科) 答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
C
B
A
D
C
D
D
C
D
1．【解析】∵，∴．
2．【解析】．
3．【解析】∵，∴，∴．
∵，∴，故选A．
4．【解析】∵，∴．∴，∴或．
5．【解析】二项式的展开通项， 令，解得．
∴展开式中的系数为．∴．
6．【解析】该几何体为一个正方体和一个四棱锥组成，
此几何体的表面积是．
7．【解析】∵，，∴，∴函数的周期为．
∴．
8．【解析】由程序框图可知：
9．【解析】∵，∴关于对称．∴，
∴，．
．∴的值是或．
10．【解析】∵，∴．
11．【解析】直线的方程为，由，且，解得，
∴，∴．
12．【解析】∵，，∴．∵数列单调递增，∴，∴．
若，则，矛盾；若，则，成立；
若，则，矛盾；综上，，则．
当，∴．∴，∴．
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴的前项和等于．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13． 14． 15． 16．
13．【解析】∵，∴，∴．
14．【解析】由约束条件作出可行域如图，
从图可知．由，解得．
，
的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率．
∵,∴，∴的取值范围是．
15．【解析】∵是等边三角形，∴代入，
得，解得．
16．【解析】易证平面，．设．
，．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）由及正弦定理，
得，
即，即．
∵在中，，，∴，∴，得．
（2）由余弦定理，得，即，
故，当且仅当时，取等号．
∴，即的最大值为．
18．（1）证明：∵平面，平面，∴，
又∵底面是正方形，∴．∵，∴平面．
（2）∵，，两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵与平面所成角为，即，∴，
由，可知，，．
则，，，