文档介绍：鲁棒优化的方法及应用
在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数i =1
、 { A , b }m e U left I i i i=1
{a ,卩}m
i i i =1 丿
它的左侧的不确定的集合是一个椭圆
U left = {{(A , b ) = (An , bn ) +
i i i i l i i i=1 j
l=1
其中Q > 0,丈Q f 0 jj
j=1
右侧的不确定集合是有界的，它的半定表示为
U right = {{(a , B ) = (a n , (3 n ) +
i i i i
r =1
(ar, 3r )}m h w V}
r i i i=1
V = {n|3u :Pm)+ Q(u)-R>0},
p m）, Q（u）为线性映射。
则半定规划为 min
/
T
-》九
ij
j=1
[AnX + bn ]T
ii
j=1
九Q
ij i
[Ai x + b i]t
ii
M
> 0, i = 1,..., m
AnX + bn
ii
A1xL
i
ALx
i
[Alx + bL ]t
ii
T I
i
九 > 0, i = 1,...,m, j = 1,...,k ij
t = xt a n + 3 n + Tr (RV), i = 1,..., m i i i i
'xta i + 31 '
其中 P*(V ) =
i
,i = 1,...,m
i i M
XT a R + 3 R
' i i丿
Q*(V ) = 0,i =1,...,m
i
V > 0,i =1,...,m
i
鲁棒半定规划一个不确定的半定规划的鲁棒规划为
{min{cTx: A +Y x A > 0}{( A A )}
0 i i ~
x i=1
半定规划的近似鲁棒问题
m
0 n i =1
G U｝由一个箱式不确定集合影响的不确定
U = {(A A ) = (AnAn ) + Kg
0 n 0 n
l=1
则半定规划的近似的鲁棒优化为
Xi > A [x]三 Al + 工x Al,/ = 1,...,L
l 0 j j
j =1
Xi >—A [x],l = 1,…,L
l
Xl W a1 + x a1 ,l = 1,…，L
o j j
mm <
x, X1
cT x :
l=1
j=1
(Ai …Ai )|引 < 1}
由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题
U = {（A，…，A ） = （An，…，An） + t g （A1，…，A1） |引 < 1}
n 1 0 n c
l=1
则半定规划问题为
cT x :
（G
A [x]
1
A [ x]
2
M
A[x] A [x]L
12
> 0, F + G < 2（ An +F x An ） >
0 j j
j=1
AL[ x]
具有易处理的鲁棒counterparts的不确定线性规划。
如果多胞形是由有限集合的凸包给出的，则鲁棒规划为
min0x: Ai +才 x Ai > 0,1 = 1，...，L}
x 0 j =1 j j
鲁棒优化的几种新的方法
鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。
不确定线性规划为LP {min cTu:Uu+Vv < b}匚=UVbeZ，其中不确定集合
Z u，v [U，V ，b] Z
Z u Rn XRm“ XRm是一> 非空的紧的凸集，V称为recourse矩阵。当V是确定的情况下，则称相应的不确定线性规划为固定recourse的。
定义：线性规划LP的鲁棒counterpart为
(RC): min{cTu : 3v V(© = [U，V，b] e Z): Uu + Vv < b}，
u
则它的可调节的鲁棒counterpart为
(ARC): min{cTu : V(© = [U，V，b] e Z)，3v: Uu + Vv < b}。
u
可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活，但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。对于一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题，然而它相应的可调节的鲁棒规划却是不易处理的问题。但是如果不确定集合是有限集合的凸包，则固定recourse的ARC 是通常的线性规划。从实际的应用来看，只有