文档介绍:第三章 量子力学初步
?
解:根据德布罗意关系式,得:
动量为:p 二 A 二 x 1° 34 二 x 10-24千克•米•秒-1
九 10-io
能量为:E = 的本征方程为:Hw= E屮 (3)
h 2 j_ (一一—E)
把(1)式和(2)式代入(3)式,得:-2mV2狙几"V = E
即:
h 2 d 2 d 2 d 2 丄
-—V 2 A(— + — + — )e+h (pxx+pyy+pzz 一 Et)
2m dx 2 dy 2 dz 2
p2
=砂2—屮=砂
2m
:E =巴
2m
自由粒子的动量 p 可以取任意连续值,所以它的能量 E 也可以有任意的连续值。
粒子位于一维对称势场中,势场形式入图 3-1,即
{ 0< x<L ,V =0
x < 0, x> L,V =V0
试推导粒子在E < V情况下其总能量E满足的关系式。
0
试利用上述关系式,以图解法证明,粒子的能量只
能是一些不连续的值。
解:为方便起见,将势场划分为1,11,111三个区域。
(1) 定态振幅方程为竺h +空(E - V )屮=0
dx 2 h2 (x) (x)
式中卩是粒子的质量。
I区: 竺世-a2屮=0其中a2 =空(V -E)
dx 2 h2 0
波函数处处为有限的解是:屮(x) = Aeax,A是一任意常数。
1
II区:凹+B2屮=0其中B2 =空E
dx 2 h 2
处处有限的解是:屮£ (x) = B sin( px + y), B, 丫是任意常数。
III区:d^-a2屮=0其中a2 =空(V -E)
dx2 h2 0
处处有限的解是:屮(x) = De-a,D是任意常数。
3
有上面可以得到:丄竺=a,丄竺=pctg (Px + 丫),丄竺=-a,
屮 dx 屮 dx 屮 dx
1 2 3
有连续性条件,得:
a
p= ctg 7
{p
a
-^= ctg ( pL +7 )
解得:
tg (卩 L)=-
1-
a2
因此得:pL 二 n兀- 2tg -1( P /a)
这就是总能量所满足的关系式
2) 有上式可得:
p= tg (孚-学)
a 2 2
_ {-tg ……n二偶数,包括零
ctg — n _ 奇数
2
aL _ -(pL)ctg 芈 亦即 PL2
aL _ (pL)tg -
令 pL _ u,aL _ v ,则上面两方程变为
u
v _ -utg (D
2
u
V _ utg ⑵
2
另外,注意到U和V还必须满足关系: u 2 十 v 2 _ 2 卩 V L2 / h 2 ⑶
0
所以方程(1)和(2)要分别与方程(3)联立求解。
3・8有一粒子,其质量为m,在一个三维势箱中运动。势 箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外,势能V ;在势箱 内, V _0。式计算出粒子可能具有的能量。
解:势能分布情况,由题意知:
_ 0,0 < x < a;V _ 0,0 < y < b;V _ 0,0 < z < c; xyz
=g, x < 0和x > a;V =g, y < 0和y > b;V = g