文档介绍：第三章量子力学初步
？
解：根据德布罗意关系式，得：
动量为：p 二 A 二 x 1° 34 二 x 10-24千克•米•秒-1
九 10-io
能量为:E = 的本征方程为：Hw= E屮（3）
h 2 j_ （一一—E）
把（1）式和（2）式代入（3）式，得：-2mV2狙几"V = E
即：
h 2 d 2 d 2 d 2 丄
-—V 2 A（— + — + — ）e+h （pxx+pyy+pzz 一 Et）
2m dx 2 dy 2 dz 2
p2
=砂2—屮=砂
2m
:E =巴
2m
自由粒子的动量 p 可以取任意连续值，所以它的能量 E 也可以有任意的连续值。
粒子位于一维对称势场中，势场形式入图 3-1，即
{ 0< x<L ,V =0
x < 0, x> L,V =V0
试推导粒子在E < V情况下其总能量E满足的关系式。
0
试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只
能是一些不连续的值。
解：为方便起见,将势场划分为1,11,111三个区域。
(1) 定态振幅方程为竺h +空(E - V )屮=0
dx 2 h2 (x) (x)
式中卩是粒子的质量。
I区：竺世-a2屮=0其中a2 =空(V -E)
dx 2 h2 0
波函数处处为有限的解是：屮(x) = Aeax,A是一任意常数。
1
II区：凹+B2屮=0其中B2 =空E
dx 2 h 2
处处有限的解是：屮£ (x) = B sin( px + y), B, 丫是任意常数。
III区：d^-a2屮=0其中a2 =空(V -E)
dx2 h2 0
处处有限的解是：屮(x) = De-a,D是任意常数。
3
有上面可以得到：丄竺=a，丄竺=pctg (Px + 丫)，丄竺=-a,
屮 dx 屮 dx 屮 dx
1 2 3
有连续性条件，得：
a
p= ctg 7
{p
a
-^= ctg ( pL +7 )
解得：
tg (卩 L)=-
1-
a2
因此得：pL 二 n兀- 2tg -1（ P /a）
这就是总能量所满足的关系式
2）有上式可得：
p= tg (孚-学)
a 2 2
_ {-tg ……n二偶数，包括零
ctg — n _ 奇数
2
aL _ -(pL)ctg 芈亦即 PL2
aL _ (pL)tg -
令 pL _ u,aL _ v ，则上面两方程变为
u
v _ -utg (D
2
u
V _ utg ⑵
2
另外，注意到U和V还必须满足关系： u 2 十 v 2 _ 2 卩 V L2 / h 2 ⑶
0
所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。
3・8有一粒子，其质量为m，在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V ；在势箱内， V _0。式计算出粒子可能具有的能量。
解：势能分布情况，由题意知：
_ 0,0 < x < a;V _ 0,0 < y < b;V _ 0,0 < z < c; xyz
=g, x < 0和x > a;V =g, y < 0和y > b;V = g