文档介绍：函数的最大值
与最小值
沙洲中学高二数学组孙卫星
一、复习与引入
(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方
法是:
①如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)
是极大值;
②如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)
是极小值.
,而不是充
.
,往往关心的是函数在一个定义区间上,
哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
二、新课——函数的最值
x
X2
o
a
X3
b
x1
y
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.
发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是_______。
f(x1)、f(x3)
f(x2)
f (b)
f(x3)
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f (b)是最大值呢?
设函数f(x)定义在[a,b]上,在(a,b)内可导,则求f(x)
在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概
念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围
内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2) 开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且
极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点
外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值
(或极小值).
(4)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个
极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际
意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的
函数值进行比较.
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小
值.
解:
令,解得x=-1,0,1.
当x变化时, 的变化情况如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y’
-
0
+
0
-
0
+
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例2:求函数在区间[-1,3]上的最大值与
最小值.
解:
令,得
相应的函数值为:
又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0
比较得, f(x)在点处取得最大值
在点处取得最小值
延伸1:设,函数的最
大值为1,最小值为,求常数a,b.
解:令得x=0或a.
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,a)
a
(a,1)
1
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-1-3a/2+b
↗
b
↘
-a3/2+b
↗
1-3a/2+b
由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)>
f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)
=-1-3a/2+b=-3a/2,所以
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最
大值和最小值.
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
四、应用
.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小),然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,
那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.