文档介绍：瓜豆原理解析（总16页）
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最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点
直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为．
【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点0,连接C0取C0中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.
P
A
E
C F B
当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．
【2018南通中考】如图，正方形ABCD中，ab 2薦，0是BC边的中
点，点E是正方形内一动点，0E=2,连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、.
OC
【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足E0=2,故E点轨迹是以0为圆心，2为半径的圆.
F
考虑DE丄DF且DE二DF，故作DM丄DO且DM二DO, F点轨迹是以点M为圆心，2 为半径的圆．
直接连接0M，与圆M交点即为F点，此时OF最小■可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得0M，减去MF即可得到OF的最小值.
【练****ABC中，AB=4, AC=2,以BC为边在AABC外作正方形
BCDE, BD、CE交于点0,则线段AO的最大值为 .
【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．
根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.
接下来题目求A0的最大值，所以确定0点轨迹即可，观察△ BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以0点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点 0 轨迹圆圆心．
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点0,此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得A0.
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A'共线时，可得A0最大值.
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
二、轨迹之线段篇
引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在 BC上运动时，Q点轨迹是
A
【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.
A
【引例】如图，AAPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90°且AP二AQ,当点 P在直线BC 上运动时，求Q点轨迹
Q
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段.
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（ZPAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.
结论：
p、Q两点轨迹所在直线的夹角等于ZPAQ （当ZPAQW90。时，ZPAQ等于 MN 与 BC 夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP：AQ （由△ ABCs^AMN，可得 AP:AQ=BC:MN）
【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB=10, BD=4, BE=2，点P从点E出发沿EA
方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△ DPF，当点P从
点E运动到点A时，点F运动的路径长是 .
【分析】根据ADPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到 A点路径长为8,故此题答案为8.
【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2*3的一个定点，AC丄x轴于点M,交直线y二-X于点N,若点P是线段0N上的一个动点，ZAPB=30°, BA丄PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B 点随之运动■求当点P从点0运动到点N时，点B运动的路径长是
【分析】根据ZPAB=90°，ZAPB=30。可得：AP：AB=j3：i，故B点轨迹也是线段，且P