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最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可
求出关于动点的最值.
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点
P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点
运动轨迹并求出最值,为常规思路.
一、轨迹之圆篇
引例1:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
AQPO
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径
MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.
P
Q
AMO
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,
由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三点共线,
由Q为AP中点可得:AM=1/2AO.
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.
-总结:.
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引例2:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
Q
APO
【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P
.
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
M
Q
P
AO
引例3:如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨
迹是?
Q
P
AO
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.
-总结:.
--
M
Q
P
AO
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”.
此类问题的必要条件:两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).
QQ
M
P
ααP
AAα
OO
【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:
∠PAQ=∠OAM;
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.
按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”.
-总结:.
--
【思考1】:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
Q
AO
P
【分析】
Q点满足(1)∠PAQ=60°;(2)AP=AQ,故Q点轨迹是个圆:
考虑∠PAQ=60°,可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
Q
M
P
60°
AO
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均
等于AP与AQ的位置和数量关系.
【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.
考虑:当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹?
Q
APO
【分析】Q点满足(1)∠PAQ=45°;(2)AP:AQ=2:1,故Q点轨迹是个圆.
连接AO,构造∠OAM=45°且AO:AM=2:,此时任意时刻均
有△AOP∽△.
-总结:.
--
Q
MP
AO
【练****如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(,0),B(,0),点M是圆P上的动点,
点C是MB的中点,则AC的最小值是_______.
y
PM
C
OABx
【分析】M点为主动点,C点为从动点,,可知C点轨迹:
取BP中点O,以O为圆心,OC为半径作圆,即为点C轨迹.
y
P
M
C
O
OABx
当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时,AC取到最小值,根据B、P坐标求O,利用
两点间距离公式求得OA,再减去OC即可.
y
P
MO
C
OABx
-总结:.
--
【2016中考】如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上,
M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长为________.
P
A
M
CB
【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点,可确定M点轨迹:
取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC、
BC于E、F两点,则弧EF即为M点轨迹.
P
A
M
EO
D
CFB
当然,若能理解M点与P点轨迹关系,可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一
半,即可解决问题.
【2018中考】如图,正方形ABCD中,AB25,O是BC边的中点,点E是正
方形一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、
.
D
A
E
F
BOC
【分析】E是主动点,F是从动点,D是定点,E点满足EO=2,故E点轨迹是以O
为圆心,2为半径的圆.
-总结:.
--
D
A
E
F
BOC
考虑DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心,2
为半径的圆.
D
A
M
E
F
BOC
直接连接OM,与圆M交点即为F点,,
再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值.
D
A
M
F
E
BOC
【练****ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE
交于点O,则线段AO的最大值为_____________.
-总结:.
--
A
BC
O
ED
【分析】考虑到AB、AC均为定值,可以固定其中一个,比如固定AB,将AC看成
动线段,由此引发正方形BCED的变化,求得线段AO的最大值.
根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆.
A
B
C
O
ED
接下来题目求AO的最大值,所以确定O点轨迹即可,观察△BOC是等腰直角三角
形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,
以AB为斜边构造等腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
A
B
C
M
O
ED
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,根据AB先求AM,
再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值,得到MO,相加即得
-总结:.
--
AO.
A
B
C
M
O
ED
此题方法也不止这一种,比如可以如下构造旋转,当A、C、A’共线时,可得AO
最大值.
A
BC
O
A'
ED
或者直接利用托勒密定理可得最大值.
-总结:.
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二、轨迹之线段篇
引例:如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运
动时,Q点轨迹是?
A
Q
BPC
【分析】当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.
可以这样理解:分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,
因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点
轨迹是一条直线.
A
Q
BPNMC
【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线
BC上运动时,求Q点轨迹?
A
BPC
Q
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q
点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.
Q
2
A
BC
Q
1
-总结:.
--
【模型总结】
必要条件:
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).
结论:
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时,∠PAQ等于MN与
BC夹角)
AN
α
Q
M
α
BC
P
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)
AN
α
M
α
BC
【2017姑区二模】如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA
方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从
点E运动到点A时,点F运动的路径长是________.
A
P
F
E
BDC
【分析】根据△DPF是等边三角形,所以可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到
A点路径长为8,故此题答案为8.
-总结:.
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【2013中考】如图,已知点A是第一象限横坐标为23的一个定点,AC⊥x轴于
点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥
PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,
到点N时,点B运动的路径长是________.
y
A
B
Mx
O
P
N
C
【分析】根据∠PAB=90°,∠APB=30°可得:AP:AB=3:1,故B点轨迹也是线段,
且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为3:1,P点轨迹长ON为26,故B
点轨迹长为22.
【练****如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点,点
C、D在x正半轴上,以AB为边在AB的下方作等边△ABP,点B在y轴上运动时,
求OP的最小值.
y
B
O
x
A
P
【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹,根据△ABP是等边三角形且B点在直线
上运动,故可知P点轨迹也是直线.
取两特殊时刻:(1)当点B与点O重合时,作出P点位置P1;(2)当点B在x轴
上方且AB与x轴夹角为60°时,,即为P点轨迹.
y
B
O
x
AP
2
P
1
-总结:.
--
根据∠ABP=60°可知:PP与y轴夹角为60°,作OP⊥PP,所得OP长度即为最
1212
3
小值,OP2=OA=3,所以OP=.
2
y
B
O
APx
2
P
P
1
【2019宿迁中考】如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边
上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.
AD
FG
BEC
【分析】同样是作等边三角形,区别于上一题求动点路径长,本题是求CG最小值,可以将
F点看成是由点B向点A运动,由此作出G点轨迹:
考虑到F点轨迹是线段,故G点轨迹也是线段,取起点和终点即可确定线段位置,
初始时刻G点在G位置,最终G点在G位置(G不一定在CD边),GG即为G
12212
点运动轨迹.
AD
G
2
G
1
BEC
CG最小值即当CG⊥GG的时候取到,作CH⊥GG于点H,CH即为所求的最小
1212
值.
-总结:.
--
根据模型可知:GG与AB夹角为60°,故GG⊥EG.
12121
13
过点E作EF⊥CH于点F,则HF=GE=1,CF=CE,
122
55
所以CH=,因此CG的最小值为.
22
AD
G
2
H
GF
1
BEC
三、轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性,根据主、从动点与
定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而
当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是.
2
【2016中考】如图,在反比例函数y的图像上有一个动点A,连接AO并延
x
长交图像的另一支于点B,在第一象限有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点
k
C始终在函数y的图像上运动,若tan∠CAB=2,则k的值为()
x
y
AC
Ox
B
【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线,分别作AM、
CN垂直x轴,垂足分别为M、N,连接OC,易证△AMO∽△ONC,∴CN=2OM,
-总结:.
--
ON=2AM,∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8.
y
AC
N
MOx
B
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”,k会是多少?
【练****如图,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点,连接
OP,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一
周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________.
y
B
C
P
Q
A
Ox
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得:Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同,
根据OP:OQ=2:1,可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为2:1,故面积比
为2:1,△ABC面积为1/2×3×4=6,故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3.
【小结】根据瓜豆原理,类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积,根据主动点
轨迹推导即可,甚至无需作图.
【练****如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,
连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值围为___________.
-总结:.
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P
D
C
AB
【分析】固定AB不变,AC=2,则C点轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,以BC
为斜边作等腰直角三角形BCD,则D点轨迹是以点M为圆心、2为半径的圆
P
D
M
C
AEB
考虑到AP=2AD,故P点轨迹是以N为圆心,22为半径的圆,即可求出PB的取
值围.
P
N
D
M
C
AEB
-总结