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文档介绍：二期复****A
1.(6')已知||=2,||=3,且与的夹角为,求以向量为两邻边的平行四边形的周长及面积.
解∵||2=·=()·()=9||2-24·+16||2
=9×4-24×2×3×cos+16×9=108
∴||=,
∵||2=·=()·()=||2+4·+4||2
=4+4×2×3×cos+4×9=52
∴||=.
以向量,为两边的平行四边形的周长为
L=2(||+||)=2(+).
以向量,为两边的平行四边形的面积为
S=|×|=|()×()|=3×-4×+6×-6×
=10×=10||×||×sin=30.
2.(6')一平面过点(1,0,-1),且平行于向量=(2,1,1)和=(1,-1,0),试求此平面方程.
解设平面法向量为,则
=×==+-3=(1,1,-3)
于是所求平面方程为
(x-1)+y-3(z+1)=0,即 x+y-3z-4=0.
3.(6')一直线通过点M0(2,1,3)且与直线L:垂直相交,求此直线方程.
解设所求直线方程与L交于点M(x,y,z),该点在L上,而L的参数方程为,于是有
=(-1+3t-2,1+2t-1,-t-3)=(-3+3t,2t,-t-3)
两直线垂直相交,有
,即(-9+9t+4t+t+3)=0
得
t=,
于是有
=(-2,1,-4)
由对称式得所求直线为
.
4.(6')设函数 z=arctan(),求,,.
解==-
==
=-=-
5.(6')已知 w=f (x-y,y-z,t-z),f 为可微函数,求:+++.
解∵=f1',=-f1'+f2',=-f2'-f3',=f3'
∴+++=0.
6.(7')设一长方体的长、宽、高之和为定值 a,问长、宽、高三者取怎样的比例关系时,所构成的长方体体积最大?
、宽、高分别为 x、y、z,则目标函数为
V=xyz
条件为
x+y+z=a
将条件代入目标函数,得
V=xy(a-x-y)=axy-x2y-xy2 或 V=xyz+λ(x+y+z-a)
令
Vx=ay-2xy-y2=0
Vy=ax-2xy-x2=0
得
a(y-x)=(y2-x2)
即
y+x=a
y-x=0
舍去 y+x=a (由条件 x+y+z=a 及实际意义知z 不可能为零),得
y=x=
是唯一极值点,由问题的实际意义知,体积必有最大值,故当
x=y=z=
时,V 取得大值.
7.(6')求由 y=x2,y=0,x=1 所围区域上的二重积分.
解求解此积分时选择积分次序十分重要,选择不当,可能求不出该积分.
===
8.(15')已知I=,Ω由锥面z=与平面z=R>0所围部分.
(1)把I化为直角坐标的三次积分;
(2)把I化为柱面坐标的三次积分;
(3)把I化为球面坐标的三次积分.
解(1)锥面z=与平面z=R的交线方程为
x2+y2=R2
于是
I=;
(2)将锥面z=与平面z=R化为柱面坐标方程后,求交线方程为
=> r=R,
于是
I=;
(3)将锥面z=与平面z=R化为球面坐标方程后,交线与z轴的夹角为
=> cos φ=sin φ, => φ=
于是
I=.
9.(6')计算,积分路径与方向如图.
解原式=-
-
=--.
10.(6')计算曲面积分I=(写出二次积分即可),Σ是球面x2+y2+z2=R2下半部的下侧.
解 I=-=-
=-.
11.(6')用级数证明:=0.
证设,因
===<1
由比值判别法知,级数收敛,根据级数收敛的必要条件,必有
=0.
12.(6')求级数 xn 的和函数,并求.
解∵ρ=||=1
∴ R=1
在x=±1处,级数的通项极限不为零,故其收敛域为|x|<1.
S(x)=xn=2xn-=2()'-
=2()'-==-=,|x|<1
=S(-)=.
13.(6')将 f (x)= 展成 x 的幂级数.
解 f (x)=-=-,|x|<1=xn,|x|<1
14.(6')求微分方程 y"+5y'=3-2x 的通解.

r2+5r=0,得 r1=0,r2=-5,
齐次方程的通解为
Y=C1+C2e-5x.
因为f (x)=3-2x,m=1,α=0,而α=0,是特征单根,故设特解为
y*=x(Ax+B),
代入原方程,得
2A+10Ax+5B=3-2x
得
A=-,B=
于是非齐次方程的通解为
y= C1+C2e-5x -x+.
15.(6')设 f (x) 为可微分函数,且满足
f (x)=+1
求: