文档介绍：线性代数复****提纲
行列式
本章重点是行列式的计算,对于阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列式的计算,对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。
1、行列式的性质
(1)行列式与它的转置行列式相等,即。
(2)互换行列式的两行(列),行列式变号。
(3)行列式中如有两行(列)相同或成比例,则此行列式为零。
(4)行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式;换句话说,若行列式的某一行(列)的各元素有公因子,则可提到行列式记号之外。
(5)把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数,然后加到另一行(列)上,行列式的值不变。
(6)若行列式的某一行(列)的各元素均为两项之和,则此行列式等于两个行列式之和。
2、行列式的按行(按列)展开
(1)代数余子式:把阶行列式中元所在的第行和第列划掉后所剩的阶行列式称为元的余子式,记作;记,则称为元的代数余子式。
(2)按行(列)展开定理:
阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和,即可按第行展开:
也可按第列展开:
(3)行列式中任意一行(列)的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即;
或。
3、克拉默法则:,其中是把中第列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。
4、常用的行列式
上(下)三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积;特别,(主)对角行列式等于其对角线上各元素的乘积。学会利用行列式各性质将行列式化为三角形,以方便计算。
矩阵及其运算
了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练掌握矩阵的线性运算(加法与数乘)、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律;掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件;理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。
1、矩阵的运算
(1)矩阵加法满足
(2)数乘矩阵满足
(3)矩阵与矩阵相乘满足(前面矩阵的列数=后面矩阵的行数)
注意:
一般情况下,;若,则称是可交换的。
即便,可以都不是零矩阵。
(4)矩阵的转置满足
(5)方阵的幂(为正整数,)
(均为正整数)。
若方阵是不可交换的,则。
(6)方阵的行列式(均为方阵)满足
。
2、逆矩阵
(1)定义:设,若有,使得(单位阵),则称矩阵是可逆的,是的逆阵,记作。
(2)方阵可逆有,使有,使。
(3)逆阵的性质
若可逆,则也可逆,且
若可逆,则也可逆,且
若可逆,,则也可逆,且
若均可逆,则也可逆,且
(4)伴随矩阵:设,的伴随阵定义为,(其中是中元的代数余子式。
伴随阵的性质:
若,则
若,则
3、克拉默法则的矩阵表示
若,则方程组有唯一解。
矩阵的初等变换与线性方程组
本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法,并熟练掌握用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念,并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。
理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。
1、定义
初等行变换:;
初等列变换:;
初等变换:与等价,秩相等。
2、矩阵的秩
(1)矩阵的最高阶非零子式的阶数,称为矩阵的秩,记作。
(2)的最简形含个非零行的标准形。
(3)矩阵的秩的性质:
。
。
A与B等价,R(A)=R(B)。
若可逆,则。
3、线性方程组理论
(1)元非齐次线性方程组有解的充要条件是,当时有唯一解;当时有无穷多解;无解的充要条件是。
(2)元齐次线性方程组有非零解的充要条件是;只有零解的充要条件是。
(3)矩阵方程有解的充要条件是。
向量组的线性相关性
在本章学****中,,要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换,,突出的典型问题是对所作的解释:
矩阵语言:是与的乘积矩阵;
方程语言:是矩阵方程的一个解;
几何语言:向量组能由向量组线性表示,
是这一表示的系数矩阵。
理解向量组线性组合以及一个向量(或向量组)能由一个向量组线性表示的概念,特别地,要熟悉这些概念和线性方程组的联系。理解向量组线性相关和线性无关的概念,并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念,会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。
本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念,并能熟练地求出基础解系,理解齐次与非齐次线性方程组通解的构造。
1、维向量、向量组
个有次序的数构成的有序数组称为维向量,记作
与分别称为列向量和行向量,也就是列矩阵和行矩阵。
若干个同维数的列(行)向量所组成的集合叫做