文档介绍：§
卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当Xi、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z二工x2的i
式中的p］=j+布函数F(y)=P{Y<y}=P{X2<y}。
Y
当y<0时，F(y)=0,p(y)=0；
YY
当y>0时，F^(y)二P卜汀<X<汀}=J7p(x)dx=2J7p(x)dx,—y0
1—i
y2
1+n9
(n+y)2
n2r
Y=X2的分布密度p(y)=
Y
2屮+n丿
—1丁丿
r1rln
12丿
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密
度一样，因此Y二X2〜F(l,n)。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

1〕分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为F(x),实数a满足0<a<1
时，a分位数是使P{XVXa}=F(xa)=a的数xa,
上侧a分位数是使P{X>}=1-F@)=a的数入,
双侧a分位数是使P{X<Xi}=F@许的数九〔、使
P{X>入2}=1-F(X2a的数入2。
因为1-F(X)=a,F(X)=1-a,所以上侧a分位数入就是
1-a分位数x]-a；
F(X许,1-******@2a,所以双侧a分位数入1就是a分位数
x，双侧a分位数九2就是1-a分位数x。
1—
2〕标准正态分布的a分位数记作ua,a分位数记作u,
0C
1-a分位数记作u.。
1-a
P{X<U1-a}=F01(u1-a)=1-a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当a时，ua=0；
当a时，ua<0。
巴=-u1-a。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，那么先查出u]_a，然后得到ua=-u1-a。
论述如下：当X〜N(0,1)时,P{X<ua}=F(ua)=a,
0,1
P{X<u1-a}=F0>1(u1_a)=1-a，
P{X>u1-a}=1-F0,](u1-a)=a，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua=-u.。
1-a
*例如，u=-u=-,
u=-u=-,
u=-u=-
u=-u=-
UUo
又因为P{|X|Vu仁}=1-a，所以标准正态分布的双侧
1—
a分位数分别是u4和-u［。
1-a1-a
标准正态分布常用的上侧a分位数有：
a,u；
a,u；
a,u；
a,u；
a,uo
3〕卡平方分布的a分位数记作%2a(n)oX2a(n)>0,当X〜%2(n)时，P{X<%2a(n)}=ao
厂、卡平方心)
■
0
分布密度x0
分位数K
例如，X2,X2,
，X2，
%2,X2o
4〕t分布的a分位数记作tx(n)。
当X〜t(n)时，P{XVta(n)}=a，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有
&(n)=-11_a(n)，论述同ua=-ui-a。
例如，t,t,
t,t(4)=_,
t(4)=_,t(4)=_。
另外，当n>30时，在比拟简单的表中查不到tx(n),可用Ux作为tx(n)的近似值。
Xox
OxOX
5〕F分布的a分位数记作Fx(n,m)o
Fx(n,m)>0,当X〜F(n,m)时，P{X<Fx(n,m)}=x。
另外，当a较小时，在表中查不出Fa(n,m)，须先查F1a(gn),再求Fa(n,m)=1。
aF(m,n)
l-a'‘
1-a(m，n)}=1-a
论述如下:
当X〜F(m,n)时，P{X<F
P{1>1
XF]_a(m,n)
又根据F分布的定义，
因此Fa
(n,m)=
}=1-a,P{1<
XFi-a(m,n)
1〜F(n,m),P{1<Fa(n,m)}=a,
XX
1
o
Fi-a(m，n)
}=a,
例如，F,F,F
(3,4)=丄,

(3,4)=右,F(3,4)=胎
【课内练****br/>①咒2(8),②咒2(12)。
求分位数①t(8),②t(12)。
求分位数①F(7