文档介绍：记得在高中做数学题时，经常要求曲线的切线。见到形如:、，二之类的函数，不管三七二^一直接求导得到'■"，这就是切线的斜率，然后:,-上=":
就得到了 ":处的切线。
上大学又学****了曲面切线和法向量的求法，求偏导是法向量，然后套公式求记得在高中做数学题时，经常要求曲线的切线。见到形如:、，二之类的函数，不管三七二^一直接求导得到'■"，这就是切线的斜率，然后:,-上=":
就得到了 ":处的切线。
上大学又学****了曲面切线和法向量的求法，求偏导是法向量，然后套公式求出切线。
一个经典例子如下：
例3 求椭球面x1 + 2y2 + 3z2 = 6 在点(LL1)处的切平面及法线方程.
解 F(x,y,z) x2 +2j2 + 3z2-6f
乳 s)= S4/6 划(山)={2,4,6},
切平面方程为 2(x-1) + 4(y-l)+6(z-l) = 0,
n x+ 2y +3z = 05
法线方程为「1 I孩-1
,— *
2 4 6
(来自web上某个《几何应用》ppt)
其中的向量n是F(x,y,z)的偏导数。
然而，这两者求法看似无关啊，「二：二中求得的'-是切线，然而下面的求偏导后却是法向量，为啥都是求导，差别这么大呢？切平面的方程为啥又是与法向量有关呢？
当然这些问题的问答都可以通过严格的数学推导完成。这里想从更加直白的角度来说明道理。
首先，法向量(梯度)是F(X)(其中X={x0,x1,x2,„xn}是n维向量)对各个分量求偏导后的结果，代表了
F(X)在各个方向的变化率，整个法向量就是F(X)在各个方向上变化率叠加出来的向量。如对于一维的F(x)二二，在x上导数是2x，意味着在X方向上是以2x的速度变化，比如当x=2时，F(x)变化率为4大于当 x=1时(变化率为2)的变化率，法向量的方向只能是x方向，因为F(X)是一维。
这里的F(X)称为隐函数，如我们平时使用的：■ = -■-使用隐函数就可以表示成 F(x,y)=f(x)-y，这样其实F(x,y)是二维的。至于为什么导数就是变化率，可以通过导数的定义就可以知道了(微小的dx变化引起多大的dy变化)。
那么我们明白了，隐函数F(X)的法向量就是F(X)对各个分量的偏导数的向量。那么为何「二：二中求得的「'是切线，而不是法向量？其实我们不能搞混了隐函
数F(X)和：=-■- o隐函数是一个函数，它的值根据X的取值不同而不同。而
只是x和y之间满足的约束关系，如建立x-y坐标，两者的约束关系可以通过图形(直线、曲线等)来表示。比如我们可以用「二二来表示一条抛物线，而且能
够在x-y坐标系下画出来。而换用隐函数表示就是F(x,y) = < 一「，只有当F(x,y) 等于一个给定值(比如0时)，它才是一条抛物线，否则它只是一个函数，如果用z来代替F(x,y)，那么F(x,y)其实是一个曲面，维度上升了 1。我们对F(x,y) 求偏导后的结果其实就是F(x,y)的值z的变化率。
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说明F(x,y)的值究竟将在(x,y)的小范围能变化多少，这个变化率决定于x方向上的微小变换dx和y方向上微小变换dy的线性组合，而他们的系数就是偏导数。将dx和dy换成单位向量i和j