文档介绍：函数的奇偶性
函数
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一
二
知识点一、奇、偶函数的定义
提示:y= 的定义域为{x|x≠0},经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.
答案:D
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由函数的奇偶性求函数的解析式
例2 已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的表达式.
分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.
解:令x<0,则-x>0.
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.
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反思感悟由函数奇偶性求函数解析式的解题策略
,若只给出了部分区间上的解析式,则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式,其解题理论为函数奇偶性的定义.
正用定义可以判断函数的奇偶性,逆用可以求出函数在对称区间上的解析式.
:
(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可.
(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x<0时的解析式.
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若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)的表达式?
解:只需将f(0)单独求出.
因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.
又因为f(x)=x|x+2|,x<0,
所以f(x)=x|x+2|,x≤0.
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奇、偶函数图像的应用
例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可
知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.
于是可得出如图的草图.
由图可知使f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.
答案:C
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反思感悟函数奇、偶性的应用
,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.
,其依据是奇函数图像关于原点对称,(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).
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变式训练2奇函数f(x)的定义域为[-5,5],它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为 .
解析:奇函数f(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.
因为其图像关于原点对称,所以x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0,或2<x<5}.
 
答案:{x|-2<x<0,或2<x<5}
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利用函数的单调性与奇偶性解不等式
典例 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
方法点睛 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,列出不等式