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函数最值的解法及其在生活中的应用
（渭南师范学院数学与信息科学学院数学与应用数学专业11级2班）
大纲：函数最值问题是此刻高中数学课程中的重要构成部分，也是高考观察的重极小值1
-3
比较得
fmax
x
105,fminx
3
故函数f(x)
x3
6x2
15x
5在闭区间
6,3上的最大值是
105,最小值是
-3.
闭区间上可导函数的最值本源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的
极值,而极值又本源于f'(x)
[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:
求函数的导数;
求函数在[a,b]内令f'(x)0的x的值（称之为”驻点”);
'(x)的正负,以此判断函数曲线的走向（f'(x)0为上
升,f'(x)0为降落）,左侧上涨、右侧降落的驻点处的函数值为极大值,反之为
z...
...
.
极小值;
假如函数驻点许多,分段谈论,并可以列表、画图表达;
求最大值,将全部极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较,取最大的,。
关于某些特别形式的函数的最值问题，经过适合变形后，使函数f(x)出现
在一个有实根的一元二次方程的系数中，而后利用一元二次方程有实根的充要条
件0来求出f(x)
假如给定函数是二次函数或变形后可转变成二次函数的问题，一般可用此法
求解.
例3求f(x)2x2
3
4x在区间[1,0]内的最值.
解：配方得f(x)
2x2
34x
3(2x
2
)2
4
,
3
3
因为x
[1,0],所以1
2
x
1
，从而当
2
x
2
2
，f(x)
获得最大
值4
2
3
即xlog23
；当2x
1即x
0时f(x)获得最小值1.
3
消元法
在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可
考虑经过代入消元法#把多元函数问题转变成一元函数来解决，以达到简化的目
的!
例4已知x22y23x，求u2x2y2x的最大值
解：由已知得y21x23x①
2
z...
.
..
.
x2
3x
0,0
x
3
将①代入u
2x2
y2
x化为一元函数，再用配方法即可求得。
数形联合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函
数的最值问题转变成几何问题来解决!此法直观性较强#易于理解#有必定的灵巧
性且常有化难为易的奇异成效。
例
5已知直线x
y
3
0,求函数S
(x1)2
y2
+
(x1)2
y2的最
值.
解此题的几何意义是在直线xy
30上求一点M,使得M到点
(1,0),
(1,0)的距离之和最小.(
以以下图3—1）
设:点A,B的坐标分别为(
1,0),(1,0),直线l的方程为x
y
学原理知当点光源从A射出后,经镜面l反射到点B,这时AM
BM
NB就是
所求的最小值.
设点B关于光辉l的对称点为N(x1,y1),于是
Smin=AM
BM
NB,由
y1
0
1
1
x1
1
x1
1
y1
3
0
2
2