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初中数学竞赛辅导训练 30 讲 ............................... 50
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之 (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中 n
一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许 为奇数．
多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根
强，学****这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容 据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生 例 1 分解因式：
的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材 (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解 (2)x3-8y3-z3-6xyz；
法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础 (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． (4)a7-a5b2+a2b5-b7．
1．运用公式法 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现 =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： =-2xn-1yn(x2n-y2)2
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
下面再补充几个常用的公式： ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； =(a-b+c)2．
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中 n 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
为正整数； =(a-b+c)2
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中 n (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
为偶数；