文档介绍：第3章地图投影的基本原理
2、地图投影基本方法
1）几何***法
将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸上。
小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为直于子午圈的截面。
式中：
a 椭球的长半径
第一偏心率
为纬度
卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值，以字母N表示：
地图投影基本理论
纬圈的半径，一般用r表示，即
r
地图投影基本理论
α
O
x
y
A'
x'
D'
B'
C'
ds'
dsm'
dsn'
dx
dy
Ψ
为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式，以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。
地图投影基本理论
α
O
x
y
A'
x'
D'
B'
C'
ds'
dsm'
dsn'
dx
dy
Ψ
沿经线微分线段
沿纬线微分线段
对角线
C点对A点方位角α为：
由微分几何的概念可得微分梯形ABCD的微分面积为：
地图投影基本理论
α
O
x
y
A'
x'
D'
B'
C'
ds'
dsm'
dsn'
dx
dy
Ψ
（x,y）
（x+dx,y+dy）
对角线ds对应的为ds′：
dλ=0时，
dΦ=0时，
利用上式可以获得平面上经纬线微分线段的表达式：
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
E、F、G、H称为一阶基本量，或称高斯系数。
地图投影基本理论
α
O
x
y
A'
x'
D'
B'
C'
ds'
dsm'
dsn'
dx
dy
Ψ
（x,y）
（x+dx,y+dy）
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的
表达式：
地图投影基本理论
Ψ是任意方向与x轴夹角的表达式，特殊情况下，即当dλ和dΦ为零时，经、纬线方向与x轴的夹角为
与
地图投影基本理论
利用
、
推导出十分重要的经、纬线投影后的夹角的表达式
微分梯形投影后的面积，即平行四边形的面积，为：
地图投影基本理论
α
O
x
y
A'
x'
D'
B'
C'
ds'
dsm'
dsn'
dx
dy
Ψ
地图投影基本理论
（一）长度比公式
地图投影基本理论
(二)面积比公式
P = a·b = m · n (θ= 90度)
P = a·b = m · n · sin θ (θ≠ 90度)
地图投影基本理论
地图投影基本理论
（三）角度变形公式
A点（x、y），A ′点 (x ′、y ′)
地图投影基本理论
将上式两边各用tana减和加 即：
将两式相除，得：
通过三角变换，得：
地图投影基本理论
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
以ω表示角度最大变形：
令
地图投影基本理论
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变形。
五、地图投影条件
地图投影基本理论
（一）等角投影条件
使地球面上任意点的任意二方向所夹之角投影后仍保持原夹角大小不变的投影叫等角投影。为了保持等角，就必须使投影面上任意点的角度最大变形为零，即：
ω=0
按最大角度变形公式，得
a=b
地图投影基本理论
（二）等面积投影条件
等面积投影在于使投影面上的面积与地球面上相应面积相等。面积不发生变形的投影叫等面积投影，其条件是面积比为1，即
P=1
由面积变形公式得：
H=M*r
或
ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件
使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中。
等距离投影规定经线长度比等于1为条件,即
m=1
地图投影基本理论
六、地图投影分类
（一）按地图投影变形性质分类
等角投影
等面积投影
任意投影
地图投影基本理论
方位投影
（二）按正轴投影经纬线形状分类
地图投影基本理论
圆柱投影
地图投影基本理论
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