文档介绍：第二章条件极值问题的变分法
§ 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子
这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。
对于一个函数，如F（x, y），其绝对极小九，与（2-16）式相加，得
i
工竺 dx 二 0 (i 二 1,2,…,k)
j
dx
j=1 j
2-17)
工[竺+艺九竺]dx = 0
dx i dx j
j=1 j i=1 j
dF +工九工怛dx
i dx j
j =1 j
这里的九（i = 1,2,…,k）是任选的，如果我们选择k个待定的九，使下面k个条件 ii
dF k dL
y 九鼻=0 （j = 12 …k）
i dx i=1 j
2-18)
满足，则（2-18）式就可以写成
+ dx
j
2-19)
dF
.[dT+
j=k +1 j
这里dx （j = k +1,k + 2,...,n）是作为独立量出现的，于是
dF y, dL
+ 九 i
i dx
i=1 j
2-15）式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。
dx
将（2-19）、（2-21）及（2-11）式合在一起，即可得到
ykdL
九 j ]dx = 0
i dx j
i=1 j
2-20)
i = 0 (j 二 k +1, k + 2,…，n)
2-21)
§ ①(x,y ,y，…,y ) = 0(i = 1,2,…,k)下的极值问题
i 1 2 n
泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。【定理】泛函
n = J x2F(x，y1,y2,…,y ;y1,y2,…,y)dx
在约束条件
x1
2-22)
下的变分极值问题所确定的函数y ,y ,歹，…,y
123
的变分极值问题所确定的欧拉方程
①(x, y , y，…，y )二 0
i 1 2 n
(x) ,必满足由泛函 n
n* = J x2 [ f +工九① xi
1 i=1
(i 二 1,2,…，k; k < n)
]dx = J x2 F*dx
ix
1
6F * d 6F *
—( )=0 dx '
其中九(x) (i = 1,2,…,k)为k个拉格朗日乘子。我们把y •和九(x)都看作是泛函n*的变量，所以① i j i
看作是泛函n*的欧拉方程。
(2-25)式也可以写成
(j =1,2,…,n)
2-23)
2-24)
2-25)
= 0 同样也可以 i
6F y, /、6 ① d pF、
+ 乙九(x) i - ( ) = 0 (j =人2，…,n)
6y i 6y dx 6y
j i =1 j j
现在让我们证明这个定理。首先求泛函(2-22)式的变分，它经过分部积分(用端点给定不变的条件)可以写成 sn = y J x2(竺-—-6F)Sy dx
x 6y dx 6y' j
j =1 1 j j
，它是由约束条件(2-23)连系着的。设九(x) (i = 1,2,…,k)为特定函数， ji
n = J 七九①(x, y , y ，…,y )dx = 0 (i = 1,2,…,k)
i
2-26)
2-27)
于是有
变分得
i i 1 2 n
x1
2-28)
6①
=y J x2 [九(x) i- 6y ]dx (i = 1,2,…,k)
x1 i 6y j
j=1 1 j
把(2-27)式和(2-29)式相加，记n* =n + yn，得极值条件
i
i=1 y Jx「6f y 6① d/6f
Sn* = J x2 [ + 九(x) j - ( )]Sy dx = 0
x 6y i 6y dx 6y， j
j=1 1 j i =1 j j
因为九(x)是i = 1,2,…,k个任意特定函数，假定这k个函数由下列k个线性方程决定的，
y, /、6① 6F d ,6F
九(x) 匸+
i
i=1
sn
i
2-29)
2-30)
-dX(列)二 0
(j = 1, 2,…,
k)
2-31)
这里只要求行列式
6y
j
6①
6y
。①1
6y
2
。①
6y
。①1
2
6y
2
k
6y
。①1
2 6y ・2
2-32)
就可以从(2-31)式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根据
系到Sy , Sy ，…，Sy等n - k项了。即
k +1 k + 2 n
6