文档介绍：28
第二章条件极值问题的变分法
§，拉格朗日乘子
这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。
对于一个函数，如F（x,y），其绝对
y九鼻=0（j=12…k）
idxi=1j
2-18)
满足，则（2-18）式就可以写成
+dx
j
2-19)
dF
.[dT+
j=k+1j
这里dx（j=k+1,k+2,...,n）是作为独立量出现的，于是
dFy,dL
+九i
idx
i=1j
2-15）式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。
dx
将（2-19）、（2-21）及（2-11）式合在一起，即可得到
ykdL
九j]dx=0
idxj
i=1j
2-20)
i=0(j二k+1,k+2,…，n)
2-21)
40
§①(x,y,y，…,y)=0(i=1,2,…,k)下的极值问题
i12n
泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。【定理】泛函
n=Jx2F(x，y1,y2,…,y;y1,y2,…,y)dx
在约束条件
x1
2-22)
下的变分极值问题所确定的函数y,y,歹，…,y
123
的变分极值问题所确定的欧拉方程
①(x,y,y，…，y)二0
i12n
(x),必满足由泛函n
n*=Jx2[f+工九①xi
1i=1
(i二1,2,…，k;k<n)
]dx=Jx2F*dx
ix
1
6F*d6F*
—()=0dx'
其中九(x)(i=1,2,…,k)为k个拉格朗日乘子。我们把y•和九(x)都看作是泛函n*的变量，所以①iji
看作是泛函n*的欧拉方程。
(2-25)式也可以写成
(j=1,2,…,n)
2-23)
2-24)
2-25)
=0同样也可以i
6Fy,/、6①dpF、
+乙九(x)i-()=0(j=人2，…,n)
6yi6ydx6y
ji=1jj
现在让我们证明这个定理。首先求泛函(2-22)式的变分，它经过分部积分(用端点给定不变的条件)可以写成sn=yJx2(竺-—-6F)Sydx
x6ydx6y'j
j=11jj
，它是由约束条件(2-23)连系着的。设九(x)(i=1,2,…,k)为特定函数，ji
n=J七九①(x,y,y，…,y)dx=0(i=1,2,…,k)
i
2-26)
2-27)
于是有
变分得
ii12n
x1
2-28)
6①
=yJx2[九(x)i-6y]dx(i=1,2,…,k)
x1i6yj
j=11j
把(2-27)式和(2-29)式相加，记n*=n+yn，得极值条件
i
i=1yJx「6fy6①d/6f
Sn*=Jx2[+九(x)j-()]Sydx=0
x6yi6ydx6y，j
j=11ji=1jj
因为九(x)是i=1,2,…,k个任意特定函数，假定这k个函数由下列k个线性方程决定的，
y,/、6①6Fd,6F
九(x)匸+
i
i=1
sn
i
2-29)
2-30)
-dX(列)二0
(j=1,2,…,
k)
2-31)
这里只要求行列式
6y
j
6①
6y
。①1
6y
2
。①
6y
。①1
2
6y
2
k
6y
。①1
26y・2
2-32)
就可以从(2-31)式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根据
系到Sy,Sy，…，Sy等n-k项了。即
k+1k+2n
6①
6y
k
2-31)
。①
k
6①
k
6y
k
式，变分方程(2-30)式中，剩下的变分项只有关
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yJx「QF\。①d/QFg人
§口*=Jx2[+九(x)—()]6ydx=
xQyiBydxBy，j
j=k+11ji=1jj
这n-k项6yj(j=k+1,k+2,...,n)都是独立任意的。运用变分法预备定理后，得
Qf/、q①
+2L九(x)i
Qyi=1iQy
ji=1j
drF)=odx6y
(j=k+1,k+2,…,n)
将(2-31)、(2-34)两式加在一起，便证明了(2-26)式