文档介绍：1
为电子所处的周期性势场,满足
单电子近似下,晶体电子的薛定谔方程
随空间位置的变化不太强烈时,可把的空间起伏看作是对自由电子情形的微扰,这种假设称为近自由电子近似
近自由电子近似
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在一维情况下,电子的薛定谔方程及周期势
. 1 一维周期势的微扰计算
a 晶格常量,l 任意整数
由于 V(x) 是周期函数,可以展开成傅里叶级数
平均势场,可令 V0=0
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势场为实数,
因此势场的傅里叶分量满足
系统哈密顿量及薛定谔方程可写为
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H0 为自由电子的哈密顿量,其本征函数为自由电子的本征函数
k 满足自由电子的色散关系,即能量本征值为
L=Na 一维晶体的长度,N 原胞数
周期性边界条件
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可看作微扰,可得一级微扰能量
当 n≠0 时,上式积分为 0,因此
所以必须计及二级微扰
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二级微扰能量为
其中
(1)当 k’-k≠2np/a 时,由于 k=2sp/L (s∈Z) 上式积分为0
(2)当 k’-k=2np/a (倒格矢) 时,上式积分的值为 L
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二级微扰能量对 k’的求和可转化为对倒格矢求和
由此得到计及二级微扰后的能量为
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一级微扰波函数为
考虑了一级修正后的波函数
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注意:得到的上述微扰能量和波函数的适用性要求与的差别较大。
发散,结果是没有意义的。这时以和标志的自由电子的状态接近简并,必须采用简并微扰论来处理
如果这两者相差甚微,将导致修正能量
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. 2 能隙由来
时,应以作为零级波函数,并将其作为薛定谔方程的近似解,有
如果
即
则二级微扰能量发散,因此 k 在–np/a 附近,即
D 为小量