文档介绍：§3-3 相平面法
相平面法是基于时域的一种图解分析方法。是状态空间法在二维情况下的应用。
二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)一般可用常微分方程来描述。
式或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点，也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
4）极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能回到极限环上。
因此，稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环横向与纵向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。
①稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
②不稳定的极限环
③半稳定的极限环
如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量时，如果在
区间的变化不很剧烈，则可以把该区间内的平均值近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增量。
三．线性系统的相平面分析
一阶线性系统自由运动微分方程为
相轨迹方程为
设系统初始条件为，则
相轨迹图下图所示
二阶线性系统自由运动微分方程为
当b>0 时，上述方程可表示为
特征根为
相轨迹微分方程为
令得到等倾线方程
当a2-4b>0，且b≠0时，可得满足 k=a 的两条特殊
的等倾线，其斜率为
该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上
相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊
的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会
脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程
参数 b<0, b=0 和 b>0 的三种不同情况具体
讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。
① b<0。系统特征根
s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。
由图可知，图中两条特殊
的等倾线是相轨迹，也是
其他相轨迹的渐近线。
当初始条件位于
对应的相轨迹上时，系统
的运动将趋于原点，但
只要受到微小扰动，运动
将偏离该轨迹，并沿着
相轨迹方向发散。
因此b<0时，系统是不稳
定的。
② b=0。系统特征根s1=0，s2= -a
相轨迹方程为
两边积分可得相轨迹方程
相平面图如下所示，相轨迹为过初始点
斜率为-a的直线。当a>0时，相轨迹收敛
并最终停止在 c 轴上；a<0时，相轨迹发散。
③ b>0。由前面可知当b>0时，方程可以表示
为
可得
根据的选取，可以分为以下几种情况：
●
设系统微分方程为
特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统
稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。
其等倾线方程为
●
特征根为两个不相等的负实根，
系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条
特殊的等倾线，其斜率为
相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特
殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之
外，相轨迹最终将沿着的方向趋于原
点。
●
系统特征根为两个相等的负实根。取
其相平面图如下。与相比，相轨迹的特殊
等倾线蜕化为一条。
●
系统微分方程为
特征根为两个共轭虚根，系统临界稳定，
过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为
积分后得到相轨迹方程为
●
设系统微分方程为
特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统
不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为
●
设系统微分方程为
特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定，
过渡过程为非周期发散。等倾线方程为
●
系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的
等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。
1）分段