文档介绍：向量空间
一判断题
平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域上的向量空间. ( ) .
平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域上
的向量空间. ( ).
一个过原点的平面上所有向量的集合是的子空间. ( ).
所有阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间的子空间. ( ).
为的子空间. ( ).
所有阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间的子空间. ( ).
为的子空间. ( ).
若是数域上的维向量空间的一组基, 那么
是的一组基. ( ).
维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基. ( ).
设是向量空间中个向量, 且中每一个向量都可由
线性表示, 则是的一组基. ( ).
设是向量空间的一个基, 如果与等价, 则
也是的一个基. ( ).
关于基的坐标为. ( ).
设为维空间的子空间, , 则为直和. ( ).
设为维空间的子空间, 且. 若则为直和.
( ).
设为维空间的子空间, 且. 若则为直和. ( ).
设为维空间的子空间, 且. 若则为直和. ( ).
设为维空间的子空间, 且. 零向量表法是唯一的, 则为直和. ( ).
设是向量空间的一个基, 是到的一个同构映射, 则的一个基是. ( ).
设是数域上的维向量空间, 若向量空间与同构, 那么也是数域上的维向量空间. ( ).
把同构的子空间算作一类, 维向量空间的子空间能分成类. ( ).
答案错误错误正确错误错误正确正确正确正确错误正确错误正确正确正确错误正确
正确正确错误
二填空题
全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域上的向量空间.
全体正实数的集合,.
全体正实数的集合,对加法和纯量乘法构成上的向量空间.
则的负向量为________.
全体实二元数组对于如下定义的运算:

构成实数域上的向量空间. 则此空间的零向量为___.
全体实二元数组对于如下定义的运算:

构成实数域上的向量空间. 则的负向量为________.
数域上一切次数的多项式添加零多项式构成的向量空间维数等于_____.
任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.
复数域作为实数域上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.
复数域看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.
实数域上的全体阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,
它的维数等于_____.
向量关于基
的坐标为__________.
关于的一个基的坐标为__________.
三维向量空间的基则向量
在此基下的坐标为_______.
和是数域上的两个向量空间, 到的映射满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射.
数域上任一维向量空间都与向量空间______同构.
设的子空间有, 则
________直和.
答案
加法和数量乘法 1 不唯一, 相等是到的双射; 对任意; 对任意不一定是
三简答题
设问下列集合是否为的子空间, 为什么?
所有行列式等于零的实阶矩阵的集合;
所有可逆的实阶矩阵的集合;
设是实数域上所有实函数的集合, 对任意定义
对于上述运算构成实数域上向量空间. 下列子集是否是的子空间? 为什么?
所有连续函数的集合;
所有奇函数的集合;

下列集合是否为的子空间? 为什么? 其中为实数域.
;
;
每个分量是整数};
设分别为数域上矩阵, 问的所有解向量是上的向量空间吗? 说明理由.
下列子空间的维数是几?
;

实数域上矩阵所成的向量空间的维数等于多少? 写出它的一个基.
实数域上, 全体阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少?
若是数域上维向量空间的一个基, 也是的一个基吗?
是向量空间的一个基吗?
.
在中求基到基
的过渡矩阵.
在中求向量关于基
的坐标.
设表示几何空间中过原点之某平面的全体向量所构成的子空间, 为过原点之某平面上的全体向量所构成的子空间, 则与是什么? 能不能是直和?
设求和. 其中
;
证明数域上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.
? 说明理由.
设为向量空间的一个基, 令且