文档介绍：利用空间向量解决立体几何问题
数学专题二
学****提纲
二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系；
(1)直线与直线的位置关系;
(2)直线与平面的位置关系;
(3)平面与平面的位置关1
A1
C1
B1
A
C
B
E
D
z
x
y
解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-
A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).
设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则
解之得 ，
取z = 1得n=(-2,0,1)
(1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1
(2) ,而 n =-2+0+2=0
∴AB1 ∥平面DBC1
利用向量解决
空间角问题
异面直线所成角的范围：
思考：
结论：
题型1：线线角
小结
(2)直线与与平面所成的角
若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ, n与a所成的角α
则 θ= α- 或θ= -α
于是,
θ
θ
n
α
α
n
a
a
（3）二面角
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.
n1
n2
α
β
n1
n2
题型三：二面角
二面角的范围：
关键：观察二面角的范围
：
：
：
关键：观察二面角的范围
例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,求对角线DB1与CM所成角的余弦值.
B
C
A
M
x
z
y
B1
C1
D1
A1
C
D
解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),
∴cosθ =|cosα|
设DB1与CM所成角为θ, 与 所成角为α,
于是：
练****1：
所以 与 所成角的余弦值为
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
所以：
例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z
x
y
C1
A1
B1
A
C
B
O
解:建立如图示的直角坐标系,则
A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )
设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
得
由 ，解得 ，
取y= ,得n=(3, ,0)，
设 与n夹角为α
而
∴
故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
练****2：
在长方体 中，
例3 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.
z
x
y
A
B
C
D
S
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.
设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
得
n1=(1,1,2).
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).