文档介绍：、实验目的：
1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。
2、通过在mathematica环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用mathematica编程生成分形图(g(x),…g(x))T为n维列向量函
1n1n
数，由上式即确定了一种迭代格式
xn+1=g(xn),n=0,1L.
由于非线性方程组可能有许多解(甚至有无穷多个解)，因此对它的求借比线性方程组的求解要面临更多的挑战。
2、迭代(二)—分形
分形几何—描述自然界的几何形态，把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。
生成元
早在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。这类图形的构造方式都有一个共同的特点，
线，它的构造方式是给定一条直线段F,将它分为三等分，并将中间的一段用以
0
该线段为边的等边三角形的另外两条边代替,,再对图形F
11
1
因此,给定一个生
中的每一小段都按上述方法修改,=limF,kT8k
F］.
成元,我们就可以生成各种各样的分形图形。
2）复变函数迭代理论
(1)
给定初始复数Z0，考虑如下迭代:
Z=Z2+卩,k=0,1,2,Lk+ik
其中Zk'k=0,1,2丄为复数，卩为（复）常数。
对于给定的初始点Z0，迭代序列有可能有界，也可能发散到无穷。令是使得迭代序列有界的所有初值Z构成的集合，即
0
J“=｛z|迭代序列｛Zk｝：0有界｝
卩0kk=0
我们称J在复平面上构成的集合为Julia集。对不同的参数卩，Julia集
的形状也会不同。特别的卩=0，对应的Julia集为圆盘。
如果固定初值z0，则对不同的参数卩，迭代序列｛zk｝;=0的有界性也不相同。令Mz是使得迭代序列｛Zk｝；=0有界的所有参数构成的集合，即
Mz=｛卩|迭代序列｛Zk｝；=0有界｝
则称M在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。
Z0
为了便于在计算机上绘制出Julia集和Mandelbrot集，我们令
Zk二xk+叭，卩二p+iq，则（1）式可改写为
厂
x=X2一y2+p
5k+lkkk=1,2,L
y=2xy+q
k+1kk
记r=x2+y2，则Julia集为使得序列｛r｝-有界的初始点（x0，y0）构成
kkkkk=o00
的集合，Mandelbrot集为使得序列｛r｝-有界的参数（p,q）构成的集合。Juliakk=0
集与Mandelbrot集会是什么样子？如果没有计算机的帮助，你是很难想象的。下面，我们给出这两个集合的计算机作图方法。
Julia集绘制方法
（1）设定初始值p，q，一个最大的迭代次数n，图形的分辨率大小a,b和
使用的颜色数K（如K=16）（或者给定灰度级L）。
（2）设定一个上界值M>max（2,Jp2+q2）。
（3）将矩形区域R:二｛（x,y）1-M<x,y<M｝分成axb的网格，分别以每个网点（f,g），f=-M+丝xi，g=-M+竺xj，i二0,1,2,L，
iiiaib
j=0,1,2,L作为初始值（x0,y0）利用riter做迭代（实际上，只需对满足
x2一y2<M2的初始点迭代）。如果对所有n<N，x2-y2<M2，将图形的
00nn
（i,j）像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步n开始有x+y>M2，0n0n0
则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。
Mandelbrot集绘制方法
（1）设定一个最大的迭代次数n,图形的分辨率大小a,b和使用的颜色数
K（如K=16）（或者给定灰度级L）。
（2）设定一个上界值M>2。
（3）将矩形区域R:二｛（x,y）1-M<x,y<M｝分成axb的网格，分别以每个网点
(f,g),f=—M+2"xi,g=—M+xj,i=0,1,2,L,
''「a「b
j=°,1,2,L作为参数值(p,q)利用riter做迭代(实际上，只需对满足
p2+q2〜4的初始点迭代)。每次得带的初值均为(x,y)二(0,0)。如果对所有00
n<N，x2—y2<M2，将图形的(j,j)像素点用黑色显示。否则，如果从迭代nn
的某一步n开始有x+y>M2，则利用第种颜色显示相应像素(或者用相0n0n0
应的灰度级显示)。
四、实验的内容和步骤：
练