文档介绍：第三节实数域和复数域
前节所说的,用N中自然数序对作为新数——整数,用Z中整数序对作为新数——有理数,使数系扩充的方法,,并不都是成功的;有理数向实数的扩充,就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充,需对极限运算封闭).
但是从Q扩充到R,数系扩充原则和步骤,依然与前面一致.
(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域,R的元素称为实数.
如果实数域R存在,它应当是由所有有理数基本列组成的序域.
事实上,设R的任一元素a都是某个有理数基本列{an}∈N,使|ak-a|<1,从而 a<1+|ak|.
1+|ak| 是有理数,有理数域是阿基米德序域,故存在n∈N,使n>1+|ak|.故有n>a.
因此,R是阿基米德序域.
反之,设R是实数域,则对于任意a∈R及n∈N,存在m1,m2∈N,使
有上界(例如m1).又A非空(至少-m2∈A),故A有最大数m∈Z,于是
即
liman=a
即R中任意数a都是有理数基本列的极限.
若R1,R2是两个实数域,则它们的元素都是有理数基本列的极限.
现作映射f:R1→R1,使对任意a∈R1,若liman=a,{an}为有理数基本列,{an}在R2中极限为a′,则f(a)=a′.
,符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的.
(2)、加法、乘法及序如下:
对任意{an},{bn}∈M.
1°{an}~{bn}当且仅当lim(an-bn)=0;
2°{an}+{bn}={an+bn};
3°{an}·{bn }={an·bn};
4°{an}<{bn}当且仅当存在有理数ε>0,及n0∈N,使当n>n0时,bn-an>ε.
由有理数的性质知,上述基本列的加法、乘法满足结合律、,是全序.
作商集M/~=R0,在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下:
对任意α,β∈R0,{an}∈α,{bn}∈β,
1°若{an+bn}∈γ,则规定α+β=γ;
2°若{an·bn}∈ρ,则规定α·β=ρ;
3°若{an}<{bn} ,则规定α<β.
不难验证,这样定义的运算及序与代表元的选取无关; R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律.
若α>0,称α为正元;若α<0,,β,存在n∈N,使nα>β.
因此,R0是阿基米德序域.
(3)嵌入
设R1是R0中所有有理常数列{a}所代表的类的集合,R2是R0中其余的类所组成的集合,则R0=R1∪R2.
作映射f:R1→Q,使f({a})=,因而(R1;+,·,<)与(Q;+,·,<)同构.
作集合R=Q∪R2,,,将正实数集合记为R+.
实数集R的若干性质.
1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a,b,若a<b,则必存在c∈Q,使a<c<b.
2°:
在直线l上取O点为原点,OA为单位,A点所在半直线为正向,建立直线坐标系第一次,以OA为单位,从O点开始,向左、右两边等分直线,得第一批分点(与单位端点重合的点),它们对应全体整数.
划分直线,得第n批分点,其中p∈N+,p>1, n=2, 3,….
这样所得分点,连同第一批分点,对应全体有理数.
现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn,于是,直线l上每一点B,如果它不是某一批分点,它便包含于一系列子区间Δn之中,这些Δn形成一个区间套{Δn}:
.
建立直线坐标系的直线 R1称为数直线,或实直线,或连续统;在它上面已不再有“洞”.
由于实数集R与实直线R1等价,以后不再区别R与R1.
3°实数表示成无尽小数形式
由上可知,:
设a为正实数,它对应R1上区间套{Δn}(若a为有理数,是某些区间的端点,则规定它属于右边的区间).又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数); n>1时,Δn左端点为Δn-1中第an(an=0,1,2,…,p-1)(a1,a2,…,an,…)(0≤ai<p,i=1,2,3,…).
反之,给出一个这样的非负整数列,可以确定唯一的一个区间套,从而唯一