文档介绍：高二自主招生、数学竞赛、优秀生辅导三位一体教学案 2015 年 2 月山东日照
巧解平面解析几何题
一、代点法
代点法的三大优点:;;。
凡是涉及圆锥曲线(包括退化圆锥曲线)的弦的中点的题,都可用代
点法解,其他某些题也可用代点法解。
通过下例说明代点法是一种什么样的解题方法。
例 1-1 求椭圆b2 x2 a2 y 2 a2b2 中斜率是m 的平行弦的中点的轨
迹。
例 1-2 求曲线5x2 6xy 5y 2 16 2x 16 2y 0的斜率为 2 的平
行弦的中点轨迹。
例 1-3 已知两条直线l1 : x 2y 1 0 与l2 : x 2y 1 0,斜率为 2
的直线l 与l1 交于点 A,又与l2 交于点 B ,求线段 AB 的中点 P(x, y)
的轨迹。
例 1-4 试证明经过椭圆的一个焦点的动弦的中点的轨迹还是椭
圆。
y 2
例 1-5 给定双曲线 x2 1, 过点 A(2,1) 的直线l 与双曲线交于两
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点 B、C ,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程。
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一、代点法(二)
例 1-6 长度为定值l 的线段 AB 的两个端点 A、B 在抛物线 y x2
上移动,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。
例 1-7 射线OA 的方程是 y 3x ,射线OB 的方程是 y 3x 。长
为4 3 的动线段 MN 的端点 M 在OA 上移动,端点 N 在OB 上移动。
求证线段 MN 的中点 P(x, y) 在一椭圆的一段弧上。
例 1-8 点 P(2,2)是椭圆 x2 4y 2 2x 12y 6 0的弦 AB 的中点,
求此弦所在的直线方程。
例 1-9 已知双曲线2xy a2 的弦 AB 的中点是 P(2a,3a) ,求弦 AB 所
在的直线方程。
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一、代点法(三)
例 1-10 过抛物线 y 2 2 px 的顶点O 的两条动弦OA与OB 垂直,求
动弦 AB 的中点轨迹。
例 1-11 一直线绕着定点 A(a,0) 转动(a 0) 并与抛物线 y 2 2 px 交
于 B、C 两点,证明这两点的横坐标的积等于常数,它们的纵坐
标的积也等于常数。
例 1-12 圆 x2 y 2 R2 的动弦 AB 在定点 M (a,0)所张之角 AMB 为
直角,求动弦 AB 的中点 P(x, y) 的轨迹。(| a || R |)
例 1-13 两条直线是l1 :3x 5y 6 0,l2 : 4x y 6 0。直线l 与l1 交
于点 A,与l2 交于点 B ,线段 AB 的中点是原点,求直线l 的方程。
例 1-14 求椭圆b2 x2 a2 y 2 a2b2 与双曲线 xy m2 的公共弦
AB、AM 的斜率。(a2b2 4m4 0)
例 1-15 抛物线 y 2 2 px 的弦 AB 的中点是 N ,分别过 A、B 的切线
相交于点 M ,求证: MN ∥ x 轴。
例 1-16 直线与双曲线b2 x2 a2 y 2 a2b2 相切于点 M ,这直线又与
这双曲线的两条渐近线分别交于点A、点B ,求证 M 是线段 AB 的
中点。
例 1-17 若抛物线 y 2 x 上总存在关于直线l : y kx k 1对称的
两点,求k 的取值范围。
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二充分应用图形性质解题
解平面解析几何题,若充分应用图形性质(如利用平面几何定理),
就可缩短解题过程,减少计算量,有的题可非常巧妙地解出来.
由于有关圆的平面几何定理较多,因此在解涉及圆的平面解析几何
题时,要打开思路,尽可能引用有关圆的平面几何定理,对于涉及其
他圆锥曲线的题目,也不要忽略引用平面几何定理.
例 2-1 如图 2-1,自圆 x2 y 2 r 2 外一点 P(a,b) 引圆的两条切
线PA 与PB , A、B 为切点,求证切