文档介绍：第6章几何公理法简介

第五公设问题

普雷菲定理

1795 年普雷菲提出一条跟欧氏第五使 AC   BD ，则按定理 1 有
C   C DB  D
又在 DC C  应用外角定理得 C  C ．所以
C  C  D
萨开里关于他的四角形 CABD 曾做过三种假设：
⑴ 锐角假设： C  D  d ，于是推出 CD  AB ，并且三角形的内角和小于二直
角．
⑵ 直角假设： C  D  d ，于是推出 CD  AB ，并且三角形的内角和等于二直
角。．
⑶ 钝角假设： C  D  d ，于是推出 CD  AB ，并且三角形的内角和大于二直
角．
由于推理步骤相似，我们只就锐角假设讨论．
定理 3 在锐角假设下有 CD  AB ．
证明既然假设 C  d  A，
又由定理 1 K  L  d
于是鉴于定理 1 和蔼从四角形 AKLC 得
CL  AK .
故有 CD  2CL  2 AK  AB ，即 CD  AB ．
定理 4 在锐角假设下，三角形的内角和小于两直角．
证明由于一个三角形可分解成两个直角三角形，我们只须就直角三角形加以证明．设在
ABC 中， A  d. 如图作 BD  AB 并取 BD  AC ，则CABD 为萨开里四角形．于是
由锐角假设和定理 3，CD  AB. 现在就 ABC 和 DBC 看，有两边相等而第三边不等，
所以    ，从而有
        d (作图)
所以 A      2d
萨开里证明过，只要在一个萨开里四角形中，上底角是直角，那么第五公设就成立．他
2象所有数学家一样相信直角假设成立面另外两个假设必须抛弃．他首先把钝角假设导致矛
盾，所以只要将锐角假设也导致矛盾，那么第五公设就证明了．他从锐角假设出发得出一系
列属于罗巴切夫斯基几何的命题，尽管这些命题与我们的直观不相符，却找不到一个逻辑矛
盾。但在一连串正确推理以后，他发现倘若锐角假设成立，那么无限地接近的两直线在无穷
远点应有共同的垂线，他认为这是“与直线的本质抵触的． ”于是他认为第五证明了．明白
地，他