文档介绍：解三角形
课题:正弦定理(两课时)
教学目的:
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形,解决实际问题。
教学过程:
引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办?
(创设情景)早在1671年,两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里,你能设计一种近似的测量方法吗?
——提出课题:正弦定理
二、讲解新课:
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
即== =2R(R为△ABC外接圆半径)
:sinA= ,sinB=, sinC=1
即 c=, c= , c=.
∴==
证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC=
两边同除以即得:==
证明二:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D
∴
同理=2R,=2R
证明三:(向量法)
过A作单位向量垂直于
由+=
两边同乘以单位向量得•(+)=•
则•+•=•
∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)
∴∴=
同理,若过C作垂直于得: = ∴==
正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题:
,求其它两边和一角;
,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
三、讲解范例:
例1 已知在
解:
∴
由得
由得
例2 在
解:∵
∴
例3
解:
,
例4 已知△ABC,BD为B的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC
分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形:△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.
证明:在△ABD内,利用正弦定理得:
在△BCD内,利用正弦定理得:
∵BD是B的平分线.
∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC.
∵∠ADB+∠BDC=180°
∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC
∴
∴
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
四、课堂练****br/>△ABC中,,则k为( )
D.(R为△ABC外接圆半径)
2.△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为( )
△ABC中,求证:
参考答案:,
3.
五、小结正弦定理,两种应用(重点:判断解的情况,利用三角形的边与角的关系,判断三角形形状)
《几何画板》:验证正弦定理
第1步,启动几何画板,单击工具箱上的“直尺”工具,在操作区作出任意三角形ABC。单击工具箱上的“选择箭头”工具,选中三角形的三条边,依次单击“度量”→“长度”菜单命令,度量3条边的长度值,度量值显示在操作区里,
第2步,单击操作区空白处,释放所选对象,然后依次选中点A、点B和点C,依次单击“度量”→“角度”菜单命令,角ABC的度量值出现在操作区。同样方法,度量角BCA和角CAB的角度。然后同时选中3组角度度量值,按住鼠标左键不放,当光标变成一个黑色箭头时,拖动光标,使3组数据移动到合适位置。
第3步,单击操作区空白处,释放所选对象,然后选中操作区中线段AB的度量值和角BCA的度量值,依次选择“度量”→“计算”菜单命令,弹出对话框,单击“数值”列表下的“mAB”、计算器上的“÷”,然后单击“函数”下拉列表,选择“sin”,再单击“数值”下拉列表下的“m∠BCA”,单击“确定”按钮,操作区中出现正弦定理的一个比值。同样方法,计算出另外两条边和所对角的正弦比值。然后选中3个比值,拖动到适当位置,
第4步,同时选中3个比值,依次单击“图表”→“制表”菜单命令,在操作区制作出一个表格,如图93所示。拖动三角形的任意一个顶点,可看到操作区的数值变化,但表格中的比值始终相等
第5步,单击工具箱上“选择箭头”工具,选中表格,然后双击表格,可在表格中添加一行纪录。依次单击“文件”→“保存”菜单命令,保存文件。
余弦定理(两课时)
教学目的
使学生掌握余弦定理及其