对面积的曲面积分教案设计.docx

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对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的:
使学生理解对面积的曲面积分的定义,了解积分中“分割”,“近似”,“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质,理解对第1页
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的:
使学生理解对面积的曲面积分的定义,了解积分中“分割”,“近似”,“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质,理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”,使学生驾驭对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求:
了解对面积的曲面积分的概念;
理解对面积的曲面积分的性质;
驾驭对面积的曲面积分的计算方法;
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授(板书)
教学内容
概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分,物理背景是曲线型构件的质量,在此问题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度,若求曲面的质量,该怎么做?
例1若曲面是光滑的,它的面密度为连续函数,求它的质量。
解:“分割”:用网格线分割曲面为,
“近似”:;
“求和”:;
“取极限”:.
对面积的曲面积分
定义:设曲面是光滑的,函数在上有界,把分成个小块(同时也表示第个小块曲面的面积),设点为上随意取定的点,作乘积,并作和。假如当各小块曲面的直径的最大值时,这和的极限总存在,则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记为,即
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假如是闭曲面,积分号写成
存在条件:在光滑曲面上连续。
对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分有类似的性质
积分区域可加性:若可分为分片光滑的曲面和
;
线性性质:设,为常数,则
特殊地若,的面积。
对称性:对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性,设对称于(或或)坐标面。若关于(或或)是奇函数,则;若关于(或或)是偶函数,,其中是位于对称坐标面一侧的部分。
计算方法
一投:将曲面投影到坐标面得投影区域;
二代:将曲面方程代入被积函数;
三换:换面积元;
根据曲面的不同状况分为以下三种:
若曲面:
;