文档介绍：求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若
lim
f(x)
A
lim
g(x)
B
x
x0
xx0
(I)
lim
f(x)
g(x)
lim
f(x)
limg(
求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若
lim
f(x)
A
lim
g(x)
B
x
x0
xx0
(I)
lim
f(x)
g(x)
lim
f(x)
limg(x)
AB
x
x0
x
x0
x
x0
lim
f
(
x
g
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
g
(
x
AB
(II)
x
x0
x
x0
xx0
若B≠0则:
f(x)
lim
f(x)
A
xx0
lim
lim
g(x)
B
xx0g(x)
xx0
(IV)limc
f(x)
clim
f(x)cA
(c为常数)
x
x0
x
x0
上述性质对于x
,x
,x
时也相同成立
3、约去零因式(此法适用于
x
x0时,0型)
0
例:
求lim
x3
x2
16x
20
x
2x3
7x2
16x
12
解:原式=lim
x3
3x2
10x
(2x2
6x
20)
x
2
x3
5x2
6x
(2x2
10x
12)
=
(x
2)(x2
3x
10)
lim
(x
2)(x2
5x
6)
x
2
=lim
(x2
3x
10)
(x
5)(x
2)
=lim
2(x2)(x3)
x2(x2
5x6)x
=lim
x5
7
2x3
4、通分法(适用于型)
优选
例:
求lim(
4
1
)
x24
x2
2
x
(2x)
解:原式=lim
2(2x)(2x)
=lim
(2
x)
x)(2x)
x2(2
=lim
1
1
x
4
x22
5、利用无量小量性质法(特别是利用无量小量与有界量之乘积仍为无量小量的性质)
设函数f(x)、g(x)知足:
(I)limf(x)
0
xx0
(II)
g(x)
M
(M
为正整数)
则:lim
g(x)f(x)
0
xx0
例:
求
limxsin1
x
0
x
解:
由
limx
0
而
sin1
1
x
0
x
故
原式=limxsin1
0
x0
x
6、利用无量小量与无量大批的关系。
(I)若:limf(x)
则
1
0
lim
f(x)
(II)
若:
lim
f(x)
0
且
f(x)
≠0则
1
lim
f(x)
例:
求以下极限
①
lim
1
②lim
1
x5
1
x
x1x
优选
解:
由
lim(x
5)
故
lim
1
0
x
x
x
5
由
lim(x
1)0
故
lim
1
=
x1
x1
x
1
7、等价无量小代换法
设,',,'都是同一极限过程中的无量小量,且有:
',
',
'
~
~
lim
'
存在,
'
则
lim
也存在,且有lim=
lim'
例:求极限lim1
cosx2
x
0x2sinx2
解:
sinx2~x2,
1
cosx2~(x2)2
2
1
cosx2
(x2)2
1
=
2
lim
2sinx2
2x2
2
x
0x
x
注:在利用等价无量小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、
差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,经常改变了它的无量小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
(A)limsinx
1
(B)lim(1
1
)x
e
x0
x
x
x
但我们经常使用的是它们的变形:
(A')limsin
(x)
1,(
(x)
0)
(x)
(B')lim(1
1)
(x)
e,(
(x)
)
(x)
例:求以下函数极限
优选
、
ax
1
(2)
、
lncosax
(1)lim
x
lim
x0
x
0lncosbx
解:(1)令ax
1
u,则x
ln(1u)
于是ax
1
ulna
lna
x
ln(1u)
又当x
0时,u
0
故有:limax
1
lim
ulna