文档介绍：第一节平面向量的概念及其线性运算
1
2022/7/30星期六
平面向量有关概念的理解
给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=第一节平面向量的概念及其线性运算
1
2022/7/30星期六
平面向量有关概念的理解
给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
2
2022/7/30星期六
分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决问题的关键.
解 ①,但它们的方向不一定相同.
②正确.,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则
因此,
3
2022/7/30星期六
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
⑤=0,则a与c不平行.
综上所述,正确命题的序号是②③.
4
2022/7/30星期六
规律总结 ,,所以复****时,要注意构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想,以便于记忆和理解.
5
2022/7/30星期六
变式训练1下列各命题中,正确的有.
①零向量没有方向.
②向量就是有向线段.
③单位向量都相等.
④两相等向量若共起点,则终点也相同.
⑤若,则A、B、C为一个三角形的三个顶点.
6
2022/7/30星期六
【解析】 ①不正确,零向量方向任意.
②不正确,有向线段是向量的一种表示形式.
③不正确,单位向量的模为1,方向不定.
④正确.
⑤不正确,A、B、C三点还可以共线.
【答案】 ④
7
2022/7/30星期六
平面向量的线性运算
(精选考题·苏州调研)已知:任意四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
8
2022/7/30星期六
分析 依据平面向量的加减法则,可以有多种证法.
方法一,用两种途径表示向量,再求和得向量的表达式.
方法二,作两条辅助线,用辅助线确定的向量进行代换.
9
2022/7/30星期六
证明 方法一:如图所示,
∵E、F分别是AD、BC的中点,
②
由①+②得,
①
同理
10
2022/7/30星期六
方法二:
如图所示,连接
则
11
2022/7/30星期六
规律总结 在证明向量关系式时,首先根据向量加减法的平行四边形法则和三角形法则,找到相关向量的一些关系式,,并表述相应的运算.
12
2022/7/30星期六
变式训练2如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若,试用a,b将向量
表示出来.
13
2022/7/30星期六
【解析】 因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成▱ABCO,所以
,所以,,B,O,F四点也构成▱ABOF,所以
同理,在▱BCDO中,=b+(a+b)=a+2b,
14
2022/7/30星期六
平面向量的共线问题
(1)求证:起点相同的三个非零向量a,b,3a-2b的终点在同一条直线上.
(2)设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb(k∈R),若c∥d,试求k.
分析 (1)设出共同起点和三个向量的终点,证明由两终点决定的向量共线.(2)利用c∥d和平行向量定理,找到非零向量a、b的线性关系,由不共线得方程组,求k.
15
2022/7/30星期六
(1)证明:设起点为O,O=a,O=b,O=3a-2b,则,
公共点A,∴A,B,C三点共线,即向量a,b,3a-2b的终点在同一直线上.
(2)∵c∥d,∴由向量共线的充要条件得:c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a+kb),∴(k-λ)a+(1-λk)b=0.
又∵a、b不共线,
∴由平面向量的基本定理得⇒k=±1.
共线且有
16
2022/7/30星期六
规律总结 (1)利用向量平行证明三点共线,需分两步完成:①证明向