文档介绍：第五章微分方程模型
传染病模型
正规战与游击战
药物在体内的分布与排除
人口的预测和控制
动态模型
描述对象特征随时间(空间)的演变过程.
分析对象特征的变化规律.
预报对象特征的未来性态.
研究控制对象特征的手段.
根据函数及其变化率之间的关系确定函数.
微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设.
按照内在规律或用类比法建立微分方程.
人类史上的重大传染病
传染病模型
【欧洲黑死病简介】
黑死病(Black Death)是人类历史上最严重的瘟疫之一。起源于亚洲西南部,约在1340年代散布到欧洲,而“黑死病”之名是当时欧洲的称呼。这场瘟疫在全世界造成了大约7500万人死亡,其中2500万为欧洲人。根据估计,中世纪欧洲约有三分之一的人死于黑死病。从1348年到1352年,它把欧洲变成了死亡陷阱,这是欧洲历史上最为恐怖的瘟疫。
【西班牙流感简介】
西班牙型流行性感冒是人类历史上最致命的传染病,在1918~1919年曾经造成全世界约10亿人感染,2千5百万到4千万人死亡(当时世界人口约17亿人);%-5%,%比较起来较为致命。其名字的由来并不是因为此流感从西班牙爆发;而是因为当时西班牙有约8百万人感染了此病,甚至连西班牙国王也感染了此病,所以被称为西班牙型流行性感冒。
疯牛病、禽流感、SARS,
虚构的传染病:《生化危机》中的T-virus
描述传染病的传播过程.
分析受感染人数的变化规律.
预报传染病高峰期到来的时刻.
预防传染病蔓延的手段.
不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
背景与
问题
基本方法
传染病模型
已感染人数(病人) x(t)
每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
模型1
假设
若有效接触的是病人,则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为.
2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病.
建模
~ 日
接触率
SI 模型
模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高峰期到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈!
?
t=tm, di/dt 最大
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染.
增加假设
SIS 模型
3)病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
~ 日接触率
1/~感染期
~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数.
m
l
s
/
=
被治愈所需要的时间
模型3
i0
i0
接触数=1 ~ 阈值
感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数
1-1/
i0
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i
di/dt
O
1
>1
O
t
i
>1
1-1/
i
O
t
1
di/dt < 0
>1, i0< 1-1/
i(t)按S形曲线增长
接触数(感染期内每个病人的有效接触人数)
i(t)单调下降