文档介绍：《工程数值分析》总结报告
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二○一二年十一月制
1、非线性方程求根
二分法的原理和算法

将函数f(x)用二分区间的方法解方程f(x)=0是一种用无限逼近的数学思想,去解方程,它的依据是:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且已知函数在两端点的函数f(a)与f(b)取异号,即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即至少存在一点c,使得f(x)=0的解。

(1)计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。
(2)计算在区间中点处的值。
(3)判断若,则即是根,否则检验:
①若与异号,则知道解位于区间,
②若与同号,则知道解位于区间,,
反复执行步骤2、3,便可得到一系列有根区间:

(4)当,则即为根的近似值
,并分析不同迭代格式的收敛性

将非线性方程f (x) =0化为一个同解方程,并假设为连续函数。
任取一个初值,代入方程的右端,得
继续——
……
——
称式为求解非线性方程的简单迭代法
称为迭代函数,称为第k步迭代值
如果存在一点x,使得迭代序列{}满足
则称迭代法收敛,否则称为发散。

定理1:设迭代函数在[a,b]上连续,且满足
(1当时,
存在一正数L,满足0<L<1,且,有
则1)方程在内有唯一解x
2)对于任意初值,迭代法均收敛于x
3)
4)
定理2:若x是的不动点,在x的某领域上存在且连续,并满足
,则迭代过程在x的领域是线性收敛的
Newton迭代法的原理和算法
设已知方程的近似根,, ,它与的根差异不大.
设,由于满足解得
重复这一过程,得到迭代格式
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为
.
计算可得,设是的单根,有,则
,
故在附近,
2、线性方程组的数值解
线性方程组的数值求解的原理和算法

(1)
的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令

并将A分解成
(2)
从而(1)可写成

令

其中
. (3)
以B1为迭代矩阵的迭代法(公式)
(4)
称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为
(5)
其中为初始向量.

1给定迭代初始向量X0以及误差要求delta
2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量
3判断X是否满足误差要求,即||Xk+1 – Xk|| < delta
4若误差满足要求,则停止迭代返回结果;若否,则返回第二步进行下一轮迭代
3、数据插值
Lagrange插值的原理和算法
根据线性空间的理论
所有次数不超过n的多项式构成的线性空间是n+1维的
这个n+1维线性空间的基底也由n+1个多项式组成,并且形式不是唯一的
而任意一个n次多项式可由基底线性表示,且在不同的基底下有不同的形式
设为上述n+1维线性空间的一个基底
显然线性无关
且任意n次多项式可由线性表示
如果为某个函数的插值函数
则称为插值基函数
且满足
其中为插值节点
如果为区间上的一组节点
我们作一组n次多项式
令
则
从而
显然线性无关
且
如果用作的插值基函数
而为的插值多项式,则
其中为待定参数
令
即
由可得
于是在节点上,以为插值基函数的插值多项式(记为)为
其中
称式为的Lagrange插值多项式
称为n次Lagrange插值基函数
Newton插值的原理和算法
一般的,一阶差商
二阶差商是一阶差商的差商
一般的,二阶差商
n阶差商为:
而n阶差商可以表示为函数值的线性组合,
即,其中
且差商与节点排列顺序无关,即。其中,是0,1,…,n的任意一种排列
若是x的m次多项式,则是x的m-1次多项式。
因而,一般的,在节点上有
其中、分别为在节点上的Newton插值公式和余项。
具体算法如下:
输入:
计算差商,对做
对做
计算插值N(u)
输入插值u
V=0
对做
(5)输出u,v
4、数据拟合
数据拟合的最小二乘法的原理和算法
:
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数在数据点处的偏差,即(i=1,2,