文档介绍：高中数学课本回归(2-2)
第一章导数及其应用
基础知识【理解去记】
:(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m且n∈N时,恒有|un-A|<ε成立(A为常数),则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限,记为,另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A,称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
:如果f(x)=a, g(x)=b,那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
:如果函数f(x)在x=x0处有定义,且f(x)存在,并且f(x)=f(x0),则称f(x)在x=x0处连续。
:如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x在x0处取得一个增量Δx时(Δx充分小),因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在,则称f(x)在x0处可导,此极限值称为f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作(x0)或或,即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6.【必背】八大常用函数的导数:
(1)=0(c为常数);
(2)(a为任意常数);
(3)
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
:若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)≠0,则
(1);(2);(3)(c为常数);(4);(5)。
8.****【必会】复合函数求导法:设函数y=f(u),u=(x),已知(x)在x处可导,f(u)在对应的点u(u=(x))处可导,则复合函数y=f[(x)]在点x处可导,且(f[(x)]=.
:单调性:(1)若f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上连续;(2)若对一切x∈(a,b)有,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x∈(a,b)有,则f(x)在(a,b)单调递减。
:若函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则
:设f(x)在x0处连续,在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,(1)若当x∈(x-δ,x0)时,当x∈(x0,x0+δ)时,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若当x∈(x0-δ,x0)时,当x∈(x0,x0+δ)时,则f(x)在x0处取得极大值。
:设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且。(1)若,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若,则f(x)在x0处取得极大值。
13.【了解】罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使
[证明] 若当x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意x∈(a,b),.若当x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m,则c∈(a,b),且f(c)为最大值,故,综上得证。
二、基础例题【必会】
。
例1 求下列极限:(1);(2);(3);(4)
[解](1)=;
(2)当a>1时,
当0<a<1时,
当a=1时,
(3)因为
而
所以
(4)
例2 求下列极限:(1)(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1);
(2);(3)。
[解] (1)(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=
(2)
=
(3)
=
。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足f(x+1)=2f(x),又当x∈[0,1)时,f(x)=x(1-x)2,试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x∈[0,1)时,有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t,则x=t-1,当x∈[1,2)时,利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2;同理,当x∈[1,2)时,令x+1=t,则当t∈[2,3)时,有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)