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一、二次函数概念:
:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,,bc是常数,a¹0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a¹0,而b,.
=ax2+bx+c的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,,bc是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
:y=ax2的性质:
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x>0时,y随x的增大而增大;
0,0
a>0向上()y轴x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,
y有最小值0.
x>0时,y随x的增大而减小;
0,0
a<0向下()y轴x<0时,y随x的增大而增大;x0时,
y有最大值0.
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
=ax2+c的性质:
上加下减。`
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x>0时,y随x的增大而增大;
0,c
a>0向上()y轴x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,
y有最小值c.
x>0时,y随x的增大而减小;
0,c
a<0向下()y轴x0时,y随x的增大而增大;x=0时,
y有最大值c.
2
=a(x-h)的性质:
左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x>h时,y随x的增大而增大;
h,0
a>0向上()X=hx<h时,y随x的增大而减小;x=h时,
y有最小值0.
x>h时,y随x的增大而减小;
h,0
a<0向下()X=hx<h时,y随x的增大而增大;x=h时,
y有最大值0.
2
=a(x-h)+k的性质:
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x>h时,y随x的增大而增大;
h,k
a>0向上()X=hx<h时,y随x的增大而减小;x=h时,
y有最小值k.
x>h时,y随x的增大而减小;
h,k
a<0向下()X=hx<h时,y随x的增大而增大;x=h时,
y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
:
2
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k,确定其顶点坐标(h,k);
2
⑵保持抛物线 y=ax的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【
【【|k|【【【【【|k|【【【
【【(k>0)【【【(k<0)【
【【|k|【【【
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成
y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m)
⑵y=ax2+bx+c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成
y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)
2
四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c的比较
2
从解析式上看,y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
2
æbö4ac-b2b4ac-b2
y=açx+÷+,其中h=-,k=.
è2aø4a2a4a
五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其开口方向、对称轴及
顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与y轴的交点(0,c)、以及
0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x,0,x,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴
()()(1)(2)
对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数y=ax2+bx+c的性质
æ2ö
bçb4ac-b÷
>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-,顶点坐标为ç-,÷.
2aè2a4aø
bbb
当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大;当x=-时,y有最小值
2a2a2a
4ac-b2
.
4a
æ2ö
bçb4ac-b÷b
0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-,顶点坐标为ç-,÷.当x<-时,y随
2aè2a4aø2a
bb4ac-b2
x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小;当x=-时,y有最大值.
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a¹0);
:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a¹0);
:y=a(x-x1)(x-x2)(a¹0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有
抛物线与x轴有交点,即b2-4ac³0时,
以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a¹0.
⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a>0的前提下,
b
当b>0时,-<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
b
当b=0时,-=0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b<0时,->0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b
当b>0时,->0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
b
当b=0时,-=0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b<0时,-<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
b
ab的符号的判定:对称轴x=-在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab<0,概括的说就是“左同右
2a
异”
总结:
⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,,bc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,
的特点,选择适当的形式,,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c;
22
y=a(x-h)+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)-k;
y=ax2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c;
22
y=a(x-h)+k关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)+k;
y=ax2+bx+c关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax2+bx-c;
22
y=a(x-h)+k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x+h)-k;
(即:抛物线绕顶点旋转180°)
b2
y=ax2+bx+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx+c-;
2a
22
y=a(x-h)+k关于顶点对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)+k.
(m,n)对称
22
y=a(x-h)+k关于点(m,n)对称后,得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2n-k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,
物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式****惯上是先确定原抛物线
(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其
对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
①当D=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点Ax,0,,Bx0(x¹x),其中的x,x是一元二次方程
(1)(2)1212
b2-4ac
ax2+bx+c=0a¹=x-x=.
()21a
②当D=0时,图象与x轴只有一个交点;
③当D<0时,图象与x轴没有交点.
1'当a>0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0;
2'当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0.
=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断
图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交
点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c(a¹0)本身就是所含字母x的二次函数;下面
以a>0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
D>0抛物线与二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实
x轴有两个交正、可零、可负根
点
D=0抛物线与二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实
x轴只有一个非负数根
交点
D<0抛物线与二次三项式的值恒一元二次方程无实数根.
x轴无交点为正