文档介绍：该【三角函数知识点归纳 】是由【春天资料屋】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【三角函数知识点归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角.②按终边地址不相同分为象限角和轴线角.
角的极点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
为第几象限角.
第一象限角的会集为
k360o
k360o
90o,k
第二象限角的会集为
k360o
90o
k360o
180o,k
第三象限角的会集为
k360o
180o
k
360o
270o,k
第四象限角的会集为
k360o
270o
k
360o
360o,k
终边在x轴上的角的会集为
k
180o,k
终边在y轴上的角的会集为
k180o
90o,k
终边在坐标轴上的角的会集为
k90o,k
(2)终边与角α相同的角可写成
α+k·360°(k∈Z).终边与角
相同的角的会集为
k360o
,k
(3)弧度制
①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1弧度的角.
②弧度与角度的换算:
360°=2π弧度;180°=π弧度.
③半径为r的圆的圆心角
所对弧的长为l
,则角
的弧度数的绝对值是
l
r
④若扇形的圆心角为
为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则
lr,C2r
l,S
1lr
1
r2.
2
2
设α是一个任意角,角α的终边上任意一点
P(x,y),它与原点的距离为rr
x2
y2
,那么角α
的正弦、余弦、正切分别是:
r
r
x
(三角函数值在各象限的符号规律
sinα=y,cosα=x,tanα=y.
概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦)
角度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
函数
角a的弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
/3
sina
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√
√2/2
1/2
0
-1
0
3/2
cosa
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
1
tana
0
√3/3
1
√3
-√3
-1
-√3/3
0
0
二、同角三角函数的基本关系与引诱公式
基础梳理
平方关系:sin2α+cos2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意
判断符号)
sinα
(3)倒数关系:
tan
cot
1
=tanα.
(2)商数关系:cosα
公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,tan(
2k)tan
其中k∈Z.
公式二:sin(
π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tanα.
公式三:sin(
π-α)=sinα,cos(π-α)=-cos_α,tan
tan
.
公式四:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,tan
tan.
公式五:sin
π
=cos_α,cos
π
=sinα.
-α
2
-α
2
π
π
公式六:sin
2+α=cos_α,cos
2
+α=-sin_α.
引诱公式可概括为
π
k·
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
其中的奇、偶
2±α的各三角函数值的化简公式.
π
(正弦变余弦,
是指2的奇数倍和偶数倍,,则函数名称要变
余弦变正弦);若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把
π
α看作锐角时,依照k·
....
2±α在哪个象
限判断原三角函数值的符号,最后作为结果符号.
...
方法与要点一个口诀
1、引诱公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.
2、四种方法
在求值与化简时,常用方法有:
sinα
(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=化成正、余弦.
cosα
(2)和积变换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转变.
(sin
cos、sin
cos、sincos
三个式子知一可求二)
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=sin
=
π
tan4
2
(4)齐次式化切法:已知tan
k,则asin
bcos
atan
b
ak
b
msin
ncos
mtan
n
mk
n
三、三角函数的图像与性质
学习目标:
会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期:定义法,公式法,图像法(如ysinx与ycosx的周期是)。
会判断三角函数奇偶性
会求三角函数单调区间
知道三角函数图像的对称中心,对称轴
6知道yAsin(x),yAcos(x),yAtan(x)的简单性质
(一)知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象:
正弦函数y
sinx和余弦函数
y
cosx
图象的作图方法:五点法:
先取横坐标分别为
0,
,
,3
,2
的五点,再用圆滑的曲线把这五点连接起来,
就获取正弦曲线和余
2
2
弦曲线在一个周期内的图象。
2、正弦函数ysinx(x
(1)定义域:都是R。
R)
、余弦函数
y
cosx(x
R)的性质:
(2)值域:都是
1,1,
对y
sinx,当x
2k
k
Z
时,y取最大值1;当x
2k
3
k
Z时,y取最
2
小值-1;
2
对y
cosx,当x
2k
k
Z
时,y取最大值
1,当x
2k
k
Z时,y取最小值-
1。
(3)周期性:ysinx,y
cosx的最小正周期都是
2
;
(4)奇偶性与对称性
:
①正弦函数y
sinx(x
R)是奇函数,对称中心是
k
,0
k
Z
,对称轴是直线
x
k
k
Z;
2
②余弦函数y
cosx(x
R)是偶函数,对称中心是
k
,0
k
Z
,对称轴是直线
2
x
k
kZ;(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
x轴的直线,对称中心为图
象与x轴的交点)。
(5)单调性:
y
sinx在
2k
,
2k
k
Z
上单调递加,在
2k,3
2k
kZ单调递
2
2
2
2
减;
y
cosx在
2k
,2k
k
Z上单调递加,在2k
,2k
k
Z
上单调递减。特别提
醒,别忘了k
Z!
3、正切函数y
tanx的图象和性质:
(1)定义域:{x|x
2
k,k
Z}。
(2)值域是R,无最大值也无最小值;
(3)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是
k,0
k
Z,特别提示:正(余)切型函数的对称中
2
心有两类:一类是图象与
x轴的交点,另一类是渐近线与
x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦
函数的不相同之处。
(4)单调性:正切函数在开区间
2
k
,
k
k
Z
内都是增函数。但
要注意在整个定义域
2
上不拥有单调性。
4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
函
数
性质
图象
定义域
值域
当x
2k
k
当x
2k
k
时,
既无最大值也无最小
最值
2
值
时,ymax
1;当
ymax
1;当x
2k
x
2k
2
k
时,ymin
1.
k
时,ymin
1.
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
在
2k
,2k
在2k
,2k
k上
2
2
是增函数;在
在k
,k
2
单调性
k
2k,2k
2
上是增函数;在
k
k
k
上是增函数.
上是减函数.
上是减函数.
对称中心k,0
k
对称中心
对称中心
对称性
对称轴
k
,0
k
k
k
2
,0
x
k
k
2
2
对称轴xk
k
无对称轴
5、研究函数
y
Asin(x
)性质的方法:类比于研究
y
sinx的性质,只需将y
Asin(
x)
中的x
看作y
sinx中的x。
函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的性质。
1)定义域:R
2)值域:[-A,A]
(3)周期性:T
2
|
|
①f(x)
Asin(
x
)和f(x)Acos(
x
)的最小正周期都是
2
。
T
|
|
②f(x)
Atan(
x
)的最小正周期都是
T
|
。
|
(4)单调性:函数
y=Asin(x+)(A>0,
>0)的
单调增区间可由
2k
-
≤x+≤2k
+
2
,k∈z解得;
2
单调减区间可由
2k
+
≤x+≤2k
+3
,k∈z解得。
2
2
在求yAsin(
x
)的单调区间时,要特别注意
A和
的符号,经过引诱公式先将
化正。
如函数y
sin(
2x
)的递减区间是______
3
(答:
剖析:y=,所以求y的递减区间即是求
的递加区间,由得
,所以y的递减区间是
四、函数yAsin
x
的图像和三角函数模型的简单应用
一、
知识要点
1、几个物理量:①
振幅:
②
2
1
④
;
;周期:
;③频率:f
2
;相位:x
⑤初相:.
2、函数y
Asin(
x
)表达式的确定:A由最值确定;
由周期确定;
由图象上的特别点确定.
函数y
sin
x
,当x
x1时,获取最小值为
ymin
;当x
x2时,获取最大值为
ymax,
1ymax
ymin
1ymaxymin
x2
x1
x1x2
则
2
,
2
,2
.
3、函数y
Asin(
x
)图象的画法:①“五点法”――设
X
x
,令X=0,,
,3
,2
2
2
求出相应的
x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
4
、函数
=
sinx
的图象经变换可获取y
Asinx
>0
的图象
y
左(右)
纵坐标
横坐标
平移
伸(缩)A倍
1倍
伸(缩)
纵坐标
左(右)
伸(缩)A倍
平移
横坐标
纵坐标
1
伸(缩)
倍
伸(缩)A倍
y=sinx
左(右)
纵坐标
横坐标
平移
y=sinxX
伸(缩)A倍
伸(缩)
倍
横坐标
左(右)
纵坐标
y
Asinx
伸(缩)
1倍
平移
伸(缩)A倍
y=sinx
左(右)
横坐标
平移
伸(缩)1
倍
5、函数yAsin(x)b的图象与ysinx图象间的关系:①函数ysinx的图象向左(>0)
或向右(
<0)平移
||个单位得y
sin
x
横坐标变为原来的
1
,获取函数y
sin
x
的图象;②函数ysinx图象的纵坐标不变,
的图象;③函数ysinx图象的横坐标不
变,纵坐标变为原来的
A倍,获取函数y
Asin(
x
)的图象;④函数
yAsin(x
)图象向
上(b0)或向下(b
0)平移|b|个单位,获取
yAsin
x
b的图象。
要特别注意,若由y
sin
x获取y
sin
x
的图象,则向左或向右平移应平移
||个单
位,
如要获取函数
y=sin(2x-π)的图象,只需将函数
y=sin2x的图象(
)
3
(A)向左平移
π个单位
(B)向右平移π个单位
3
3
(C)向左平移
π个单位
(D)向右平移
π个单位
6
6
6、函数y=Acos(x+)和y=Atan(x+)的性质和图象的变换与
y=Asin(x+)近似。
三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴cos
coscos
sin
sin
;⑵cos
cos
cos
sin
sin
;
⑶sin
sin
cos
cos
sin
;⑷sin
sin
cos
cos
sin
;
⑸tan
tan
tan
(tan
tan
tan
1
tan
tan
);
1
tan
tan
⑹tan
tan
tan
(tan
tan
tan
1
tan
tan
).
1
tan
tan
如tan20o
tan
40o
3tan20o
tan40o
;
(答
案:
3
)
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin2
2sin
cos
.
1sin2
sin2
cos2
2sincos
(sin
cos)2
25π
2π
5π
π
如cos
12
+cos12+cos12
cos12的值等于
;
(答
案:5
)
4
⑵cos2
cos2
sin2
2cos2
1
12sin2
升幂公式
1
cos2
2cos2
,1
cos2
2sin2
降幂公式cos2
1cos2
,sin2
1cos2
.
2
2
⑶tan2
2tan
.
tan
2
1
3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数:
其中tan
b
.
a
asinbcosa2b2sin,
4、三角变换时运算化简的过程中运用很多的变换,灵便运用三角公式,:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中常常出现很多的异角,可依照角与角之间的和
差,倍半,互补,互余的关系,搜寻条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如:
①2
是
的二倍;
4是2
的二倍;
是
的二倍;
是
的二倍;
2
2
4
②15o
45o
30o
60o
45o;问:sin
;cos
;
12
12
③
(
)
;④
(
4
);⑤
4
2
2(
)
(
)
(
)
(
);等等.
4
4
如[1]tan
2
,tan
4
1
,则tan
.
(答
5
4
4
案:3)
22
44π3π
[2]若cos(α+β)=5,cos(α-β)=-5,且2<α-β<π,2<α+β<2π,则cos2α=_____,cos2β
_____.
7
(答案:-25,-1)
sin
cos
2
[3]已知
1,tan
,则tan2
;
(答案:1
1
cos2
3
)
8
2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,平时化切为弦,变异名为同名(二弦归一)。
如sin50o(1
3tan10o)
;
1
o
3
o
剖析:原式
o
cos10o
3sin10o
o
2
2
cos10
2
sin10
o2sin
30o10o
2sin40ocos40o
sin80o
=sin50
o
o
sin50
o
sin50
o
o
o1
cos10
cos10
cos10
cos10
cos10
cos10
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转变为三角函数值,比方常数“
1”
的代换变形有:
(4)幂的变换:降幂是三角变换常常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂办理的方法。
常用降幂公式有:
;
。有时需要升幂,常用升幂公式
有:
;
.如对无理式
1cos
常用升幂化为有理式.
(5)公式变形:三角公式是变换的依照,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:cos
cos
sin
sin=____________;
sincos
cos
sin
=____________;
tan
tan
____________;1
tan
tan
___________;
tan
tan
____________;1
tan
tan
___________;
sin
cos
____________;2sin
cos
____________;
2
2
1cos
;1cos
;
2tan
;1
tan2
;
asin
bcos
;(其中tan
;)
6)三角函数式的化简运算基本规则:复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特别值与特别角的三角函数互化。