同角三角函数基本关系与诱导公式.docx

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同角三角函数基本关系与诱导公式
考纲要求
sinx
理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2X=l,,=tanx.
cosx
n
能利用单位圆中的三角函数线推导出2土a,n土a的正弦、余弦、正切的诱导公式,
并能灵活运用.
知识梳理
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系:sin2a+cos2a=1(agr)
sinan
商数关系:tana=(aMkn+石,kGZ)
cosa2
二、六组诱导公式
组数
-一一
-二二
三
四
五
六
角
2kn+a
(kGZ)
n+a
—a
n—a
n
2—a
2+a
正弦
sina
—sina
—sina
sina
cosa
cosa
余弦
cosa
—cosa
cosa
—cosa
sina
—sina
正切
tana
tana
—tana
—tana
不要求
不要求
kn
对于角“丁土a”(kGZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是
kn
说丁土a,kGZ的三角函数值等于“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶
数时,函数名不变,然后a的三角函数值前面加上当a为锐角时,原函数值的符号
究疑点
有人说sin(kn—a)=sin(n—a)=sina(kwZ),你认为正确吗?
提示:=2n(nWZ)时,sin(kn—a)=sin(2nn—a)=sin(—a)=—sina;当k=2n+l(nWZ)时,sin(kn—a)=sin[(2n+l)・n—a]=sin(2nn+n—a=sin(n—a)=sina.
典型例题
考点一】
同角三角函数关系式的应用
★1.(20099)
4
若sin0=—,tan0>0,则cos0
【答案】-5
解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.
属于基础知识、基本运算的考查.
由已知,0在第三象限,...COS0=—sin20=—
33
=—5,.应填一5.
★★2.(20119)在山AB中。若b=5,"=牛
tanA=2,则sinA=
a=
兰52丽
【答案】5
★★★—cosa=2,贝ysina•cosa=
答案:8
8
5
★★★,且sina+cosa=£.
5
求tana的值;
把一用tana表示出来,并求其值.
cos2a-sin2a
1sina+cosa=-解:(1)法一:联立方程j5
、sin2a+cos2a=1
由①得迹山斗说,将其代入②,
整理得25sin2a-5sina-12=0.
4
sina=-
Ta是三角形角,
j5
3、cosa=一二
5
tana=
1
法二:
*.*sina+cosa=-,
5
(sina+cosa)2=(5)2,
即1+2sinacosa=£
.2sinacosa=
24
25
5
/、.2449
(sina—cosa)2=1—2sinacosa=1+亦=亦.
Tsinacosa
12
=—25〈o.
且0〈a〈n
.sina>0,cosa〈0,
5
5
.sina—cosa>0,
7
sina—cosa=-,
5
sina+cosa
<
由
、sina—cosa
1
5
7
5
sina
cosa
5
5
.tana=
sin?a+cos2a
1
sin2a+cos2a
cos?a
tan2a+1
(2)
.
c./
.
cos2a—sin2acos2a—sin2acos2a—sin2a1—tan2a
cos2a
5
°.°tana=
4
3,
(_3)2+i
i-(-3)2
25
7-
(A)-3
3
(C)-4
(D)4
1_tan2«+1
cos2Q-sin2«1-tan2«
变式之作】
★★(2009卷)已知tan0=2,则sin29+sin0cos0-2cos29=
【解析】sin20+sin0cos0-2cos20=
sin20+sin0cos0-2cos20
sin20+cos20
tan20+tan0-24+2-24
——
tan20+14+15
【答案】D
sin”
[归纳领悟]”+cos2”=l可以实现角”的正弦、余弦的互化,利用—=tan«可cos”
:对于sin«+cos«,sin«cos«,sin«—cos«这三个式子,利用(sina土cosa)2=l±2sinacosa,&+COS2&=1求sina或cosa时,特别注意角a的三角函数值的符号,符号规律“一全正,二正弦,三正切,四余弦”:1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.
考点二】诱导公式的应用
★1.(2010全国卷1)(1)cos300。—
13
⑻-—(C)—(D)亍
C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】cos3000—cos(360。-60。)=cos600——
2
★2.(2009全国卷I)sin585o的值为
233
(A)-丁⑻丁(0-丁(D)丁
解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。
解:sin585o=sin(360o+225o)=sin(180。+45。)=-sin45。=-^2,故选择A。
2
n
sin_+9—cosn—9★★=2,则
—sinn—9

B.—2C.
2
D-3
n
~+9—cosn—9
sin
解析:——n
sin~—9—sinn—9
cos9+cos9
2cos9
cos9—sin9cos9—sin91—tan9
sin
±=—2•答案:B
★★★:sin(—1200°)・cosl290°+cos(—1020°)・sin(—1050°)+tan945°.解:原式=—sinl200°・cosl290°+cosl020°・(一sinl050°)+tan945°
=—sinl20°・cos210°+cos300°・(一sin330°)+tan225°
=(—sin60°)・(一cos30°)+cos60°・sin30°+tan45°
33,11,
'^T+2X2+1=2.
★★★5.
化简
cosn+9+cos9[cosn—9—1]
sin9—
cos9—2n
¥cos9—n—sin
/、sinkn—acos
[k—1n—a]n+a]coskn+a,
kwZ.
——cos9
解:⑴原式=cos9—cos9—l+R
cos9
—cos9+cos91+cos91—cos9
2
sin29■
⑵当k为偶数时,记k=2n(nwz).
原式=sin[2n+1
sin2nn—acos[2n—1
n+a]cos2nn+a
sin—acos—n—a—sina—cosa
—1;sinn+acosa—sinacosa'
当k为奇数时,记k=2n+l(nwz).
sin[2n+ln—a]cos
原式=sin[2n+1+1
[2n+1—1n—a]n+a]cos
n
[2n+ln+a]
sinn—acosasinacosasinacosa
—+asina—cosa'
综上,原式=—l.
【变式之作】
★★★已知cos(n+a)
=—|,且a是第四象限角,计算:
sinn—acosasinacosasinacosa
(l)sin(2n—a);
sin[a+2n+1n]+sin[a—2n+ln](nez).
n
sina+2nn•cosa—2nn
,.•cosa2,cosa
3又°・°a是第四象限角,.•.sina=—\:1—cos2a=—寸.
解:Vcos
(n+a)=
sinn—acosasinacosasinacosa
sinn—acosasinacosasinacosa
(1)sin(2n—a)=sin[2n+(—a)]=sin(—a)=—sina=^—
2nn+n+a+sin—2nn—n+a
=sinn+a+sin—n+a
sina•cosa
_—sina—sinn—a—2sina_
sinacosa
sina•cosa
2,
sin[a+2n+1n]+sin[a—2n+1n]
sina+2nn•cosa—2nn
sin
sin2nn+a•cos—2nn+a
sinn—acosasinacosasinacosa
2cosa仝
[归纳领悟]利用诱导公式化简求值时的原则为:
“负化正”运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
“大化小”利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.
利用公式六将大于90。的角化为0°到90°的角的三角函数.
得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计
“小化锐”
“锐求值”
诱导公式在三角形中的应用
算器求得.
【考点三】
★.△ABC中,cosA=|,则sin(B+C)=
解析:•「△ABC中,A+B+C二n,°.sin(B+C)二sin(n-A)二sinA=\l1-cos2A二^
★★△ABC中,sinA+cosA=5,
(1);(2)判断AABC是锐角三角形还是钝角三角形.
1、112解:⑴TsinA+cosA二5,二两边平方得1+2sinA・cosA二石,「.sinA・cosA石.
12
⑵由(1)-方<0,且0<A<n,可知cosA<0,「.A为钝角「•△ABC是钝
sinn—acosasinacosasinacosa
角三角形.
★★★△ABC中,若sin(2n—A)=—\:2sin(n—B),寸3cosA=—\;2cos(n—B),求△
ABC的三个角.
解:由已知得]
sinA=V—sinB①[—
①2+②2得2COS—A=1,即cosA二土*.、p3cosA二V—cosB②
(1)
当cosA二时,cosB=,又A、B是三角形的角,「.A=4,B=6,:C=n-(A
+B)=詁•⑵当cosA二-¥时,cosB二-¥•又A、B是三角形的角,「A二扌兀,
B=5n,,A=n,B=n,C二务
2010文数)(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭
各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)
…八aa++a
圆心角为a(i=1,2,3),则cos—cos3-sin—sin3=.
i3333
aa++aa+a+a
解析:cos^cos~3-singsin~3=cost—亠
a+a+a
又a+a+a=2兀,所以cos12工
123
★★★4
曲线C,
★★★5(2010理数),b,c分别是△ABC的三个角A,B,C所对的边,若A=l,b=€3,
A+C=2B,则sinC=
解:由A+C=2B及A+B+C=180°知,B=60。.由正弦定理知,-1-=,即
sinAsin60
sinA=—.由a<b知,A<B=60,则A=30,2
C=180-A-B=180-30-60=90°,sinC=sin90°=1
[归纳领悟],常用的变形结论有:A+B=n-C;2A+2B
ABCn
+2C=2n;—+2+—=,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的围,最后求角.
巩固训练