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2010届高三数学基础知识复****提纲
一、集合与简易逻辑:
1、符号的含义:∈,,,,∩,∪,CA,N,Z,Q,R
U
2、ABA;AUBA;
CAUBU;CAB;
UU
CACB;C(AB);
UUU
3、集合与集合的关系:用,,=表示;A是B的子集记为AB;A是B的真子集记为AB。

①任何一个集合是它本身的子集,记为AA;
A
②空集是任何集合的子集,记为;空集是任何非空集合的真子集;
③如果AB,同时BA,那么A=B;如果BC,那么AC.
AB,
④n个元素的子集有2n个;n个元素的真子集有2n-1个;n个元素的非空真子集有2n-2
个.
4、简易逻辑:充要条件的判断,且、或、非;四种命题;
(1)命题与逻辑连接词:且、或、非
(2)p或q;p且q;﹁p;﹁q的真值表;
(3)四种命题关系;原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的;
原命题互逆逆命题
若p则q互若q则p
为
否
逆
互互
逆
否
否为否
互
否命题逆否命题
若p则qqp
互逆若则
(4)充要条件:
如果pq,则p是q的条件;如果qp,则p是q的条件;
如果既有pq,又有qp,记作pq,则p是q的条件。
5、量词:
(1)全称量词:“任意:”;存在量词:“存在:”
(2)含有全称量词的命题称为;含有存在量词的命题称为
(3)含有量词的命题的否定:“”应改为;“”应改为。
1:.
6、否命题中常见的词语:
正面词语等于大于小于是都是至多有一个
否定
正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个
否定
二、不等式
(一)均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
ab
若a,b0,则ab(当且仅当ab时取等号)
2
ab
基本变形:①ab;()2;
2
a2b2ab
②若a,bR,则a2b22ab,()2
22
基本应用:求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。
当abp(常数),当且仅当时,;
当abS(常数),当且仅当时,;
常用的方法为:拆、凑、平方;
(二)、常用的基本不等式:
(1)设a,bR,则a20,(ab)20(当且仅当时取等号)
(2)|a|a(当且仅当时取等号);|a|a(当且仅当时取等号)
1111
(3)ab,ab0;;
abab
注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。
(2)另外需要特别注意:
11
①若ab>0,则时,有a<b。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向
ab
要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分
类讨论。
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直
接比较大小。
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
(三)不等式的解法:
(1)一元一次不等式:
Ⅰ、axb(a0):⑴若a0,则;⑵若a0,则;
Ⅱ、axb(a0):⑴若a0,则;⑵若a0,则;
2:.
(2)一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于
零;注:要对进行讨论:
(3)绝对值不等式:若a0,则|x|a;|x|a;
(4)二次不等式与二次函数及二次方程的关系(a>0):
判别式二次函数方程不等式不等式
b24acyax2bxcax2bxc0ax2bxc0ax2bxc0
的图象的根的解集的解集
0
0
0
(四)简单的线性规划
1、判断二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示AxByC=0某一侧
x,yAxByC
所有点组成的平面区域。只需在直线某一侧取一个特殊点,从的正
0000
负即可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当C0时,通常把原
点作为此特殊点。
一般地,我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式
AxByC0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。
2、求线性规划问题的步骤是:
(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;
(2)作出可行域,写出目标函数;
(3)确定目标函数最优位置,从而获得最优解。
三、函数
(一)函数的基本概念:
1、映射:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则发f,对于集合A中的每一
个元素在集合B中,这样的单值对应叫做集合A到
集合B的映射。
3:.
2、函数:
(1)函数的定义:一般地,设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集
合A中的每一个元素x在集合B中,这样的对应叫
做从A到B的一个函数。
(2)函数的三要素:;;。
(3)函数的表示方法:;;。
(二)函数的基本性质:
1、函数的单调性:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA,如果对于区间I内
的任意两个值x,x,
12
当x<x时,都有,则称y=f(x)在区间I上是单调增函数。I称为
12
区间。
当x<x时,都有,则称y=f(x)在区间I上是单调减函数。I称为
12
区间。
单调增区间和单调减区间统称为
2、函数的最大值、最小值:一般地,设y=f(x)的定义域为A,若存在使得对于任意
有
恒成立,则称f(x)为y=f(x)的最大值,记为:
0
若存在使得对于任意有恒成立,则称为的最小值,记为:
3、函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有则称函数y=f(x)
是偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有则称函数
y=f(x)是奇函数。
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于对称;奇函数的图象关于对称。
②奇函数f(x)的定义域中若含有0,则必有
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。
4、一些有用的结论:
;
;

增函数f(x)增函数g(x)是增函数;
减函数f(x)减函数g(x)是减函数;
增函数f(x)减函数g(x)是增函数;
减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

fg(x)在公共定义域上的单调性:

若f与g的单调性相同,则fg(x)为增函数;

若f(x)与g(x)的单调性相反,则fg(x)为减函数。
4:.
5、函数的周期性:
定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(xT)f(x)恒成立
则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
6、函数定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定
义域。常涉及到的依据为:
①分母不为0;
②偶次根式中被开方数不小于0;
③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;
④零指数幂的底数不等于零;
⑤实际问题要考虑实际意义等.
7、几种常用函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
函数y=kx+b(k0,xR)的值域为R;
二次函数y=ax2+bx+c,(a0,xR)
4acb24acb2
当a0时值域是,,当a0时值域是,;

4a4a
k
y,k0,x0yy0
反比例函数的值域为;
x
指数函数yax(a>0且a1,xR)的值域为R;
对数函数ylogx(a>0且a1,x>0)的值域为R;
a
函数y=sinx,y=cosx(xR)的值域为[-1,1];

函数y=tanx,xk,的值域为R;
2
8、图象的变换
(1)平移变换
①函数yf(xa),(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿x轴向左平
移a个单位得到的;
②函数yf(xa),(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿x轴向右平
移a个单位得到的;
③函数yf(x)a,(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向上平
移a个单位得到的;
④函数yf(x)a,(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向下平
移a个单位得到的。
5:.
(2)对称变换
①函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称;
函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y=0(即x轴)对称;
函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于坐标原点对称;
②如果函数yf(x)对于一切xR,都有f(xa)f(xa),那么yf(x)的图象以
T=2a为周期。
③函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称。
④yf(x)yf(x)
⑤yf(x)yf(x)
⑥yf1(x)与yf(x)关于直线yx对称。
(3)伸缩变换
①yaf(x),(a0)的图象,可将yf(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a1)
或缩短(0a1)到原来的a倍。
②yf(ax),(a0)的图象,可将yf(x)的图象上的每一点的横坐标伸长
1
(0a1)或缩短(a1)到原来的倍。
a
6:.
(三)函数的零点及二分法:
1、对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数y=f(x)
的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。即:
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
2、定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)
<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这
个c也就是方程f(x)=0的根。
3、二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过
不断地把函数f(x)的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似
值的方法叫做二分法。
4、二分法的步骤:()
(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度;
(2)求区间的中点x;
1
(3)计算f(x):
1
①若f(x)=0,则x就是函数的零点;
11
②若f(a)f(x)<0,则令b=x(此时零点x∈(a,x)
1101
③若f(a)f(x)>0,则令a=x(此时零点x∈(x,b)
1101
(4)判断是否达到精确度:即ab,则得到零点的近似值a或b;否则重复步
骤(2)、(3)、(4)
(四)导数
yf(xx)f(x)
1、定义:比值00称为函数yf(x)在点x到xx之间的平均变化率;
xx00
yf(xx)f(x)
2、一般地,函数yf(x)在点x=x处的瞬时变化率是:limlim00,
0xx
x0x0
则称函数yf(x)在点x处可导,并把这个极限叫做yf(x)在x处的导数,记作f'(x)或
000
yf(xx)f(x)
y'|,即f'(x)=limlim00.
xx00xx
x0x0
:
f(x)g(x)'f'(x)g'(x)
f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)
f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)


g(x)g2(x)
:
C'0(C为常数)(sinx)'cosx
(xn)'nxn1(nR)(cosx)'sinx
111
(lnx)'(logx)'loge
xaxaxlna
(ex)'ex(ax)'axlna
7:.
:
k=f/(x)表示过曲线y=f(x)上的点P(x,f(x))的切线的斜率。
000
V=s/(t)表示瞬时速度。a=v/(t)表示加速度。
:
(1)求切线的斜率,以及求切线方程。利用点斜式:
(2)导数与函数的单调性的关系:
①f(x)0与f(x)为增函数的关系。
f(x)0能推出f(x)为增函数,但反之不一定。(如函数f(x)x3在(,)上单
调递增,但f(x)0),∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
②f(x)0时,f(x)0与f(x)为增函数的关系。
若将f(x)0的根作为分界点,因为规定f(x)0,即抠去了分界点,此时f(x)为
增函数,就一定有f(x)0。∴当f(x)0时,f(x)0是f(x)为增函数的充分必要
条件。
③f(x)0与f(x)为增函数的关系。
f(x)为增函数,一定可以推出f(x)0,但反之不一定,因为f(x)0,即为
f(x)0或f(x)0。当函数在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)为常数,函数不具
有单调性。∴f(x)0
是f(x)为增函数的必要不充分条件。
④单调区间的求解过程,已知yf(x)
(Ⅰ)分析yf(x)的定义域;
(Ⅱ)求导数yf(x)
(Ⅲ)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间
(Ⅳ)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间。
(3)求极值、求最值。
①求函数yf(x)的极值的方法:
先解方程f(x)0,当f(x)0时:
0
8:.
(Ⅰ)如果在x附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x)是极大值。
00
(Ⅱ)如果在x附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x)是极小值。
00
②求函数yf(x)在[a,b]上的最值的步骤:
(Ⅰ)求函数yf(x)在(a,b)内的极值;
(Ⅱ)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一
个是最大值,最小的一个是最小值。
注意:(1)极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为“极大值和f(a)、f(b)”
中最大的一个。最小值为“极小值和f(a)、f(b)”中最小的一个。
(2)f/(x)=0不能得到当x=x时,函数有极值。但是,当x=x时,函数有极值
000
f/(x)=0判断极值,还需结合函数的单调性说明。
0
(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的
最大值;若函数f(a)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最
小值.
四、基本初等函数:
1、指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=;(am)n=;(ab)m=
m

a0=(a≠0),an(a≠0)
(2)对数的概念:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做对
数,记作:其中a叫做对数的,N叫做。
以10为底的对数叫做;记作:
以e为底的对数叫做;记作:
(3)对数的简单性质:
①负数和零没有对数;
②底的对数是1;loga1
a
③1的对数是零;log10
a
(4)对数的运算法则:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①log(MN)=logM+logN
aaa
M
②log()=logM-logN
aNaa
③logMn=nlogM(n∈R)
aa
logb
④logbc(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)(对数换底公式)
aloga
c
⑤对数恒等式:;
9:.
2、常用的初等函数:
(1)一次函数:yaxb(a0),当a0时,是函数;当a0时,是函数;
(2)二次函数:
一般式:yax2bxc(a0);对称轴方程是;顶点为;
两点式:ya(xx)(xx);对称轴方程是;与x轴的交点为;
12
顶点式:ya(xk)2h;对称轴方程是;顶点为;
①一元二次函数的单调性:
当a0时:在上为增函数;在为减函数;
当a0时:在上为增函数;在为减函数;
②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为ya(xk)2h的形式,
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间[m,n]上,则
a0时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;
a0时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间[m,n]上,则
a0时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的
端点处取得;
a0时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的
端点处取得;
有三个类型题型:
(1)顶点固定,区间也固定。如:yx2x1,x[1,1]
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,
何时在区间之外。
(3)顶点固定,区间变动,x2x1,x[a,a1]
③二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0的两根
为x,x;则:
12
根的情况xxkxxkxkx
121212
在区间(k,)或
在区间(k,)上有在区间(,k)上有
等价命题
两根两根(,k)上有一根
充要条件
10:.
注意:若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)
上实根分布的情况,得出结果,在令xn和xm检查端点的情况。
(3)幂函数:一般地,函数y=x叫做幂函数。其中x是自变量,α是常数。
1
要求:掌握α=1,2,3,,-1时的图象。
2
y=xy=x2y=x31y=x—1图象:
y=x2
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
(4)指数函数:yax(a0,a1)
图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情
况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。
(5)对数函数:ylogx(a0,a1)
a
图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0<a<1两种情
况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。
名称指数函数对数函数
一般形式y=ax(a>o,a≠1)ylogx(a0,a1)
a
定义域
值域
a0a0
单调性
a0a0
特殊点
图象
(6)注意的几个问题:
(1)yax与ylogx的图象关系是;这两个函数互
a
为反函数。
(2)比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不
相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与1比较或与0比较。
11:.
四、三角函数
1、角的概念:角的形成,角的始边,终边,顶点,正角;负角;零角.
2、终边相同的角:与α角终边相同的角的集合(连同α角在内),可以记为{|=k²360
+α,k∈Z}.
3、象限角:顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,则终边落在第几象限,就称这个角是
第几象限的角.
4、(请写出各象限角的集合及各轴线角的集合):
第一象限角:第二象限角:
第三象限角:第四象限角:
x轴上的角:
y轴上的角:
5、角度制与弧度制的互化:
1rad=180°≈°=57°°=≈(rad)πrad=180°
180
6、弧长公式:l||r.
y的终边
a
11
扇形面积公式:slr||r2
P(x,y)
扇形22
r
7、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于
ox
原点的)一点P(x,y),P与原点的距离为r,则:
yxy
sin;cos;tan;
rrx
8、三角函数在各象限中的符号:(一全正,二正弦,三两切,四余弦)
9、三角函数线
y
正弦线:MP;T
P
余弦线:OM;
OMAx
正切线:AT.
10、特殊角的三角函数值:
α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
弧度
sinα
cosα
tanα
11、三角函数的图象:
12:.
(1)y=sinx(2)y=cosx(3)y=tanx
sin
12、同角三角函数的基本关系式sin2cos21,tan=,.
cos
13、正弦、余弦的诱导公式
n
n(1)2sin,n为偶数
sin()
2n1

(1)2cos,
n为奇数
n
n为偶数
n(1)2cos,
cos()
2n1

(1)2sin,n为奇数

14、和角与差角公式
sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tantan
tan().
1tantan
b
asinbcos=a2b2sin()(tan辅助角所在象限由(a,b)的象限决定)
a
15、二倍角公式
sin2sincos2tan
;tan2
1tan2
cos2cos2sin22cos2112sin2。
16、三角函数的周期公式:
函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω
2
>0)的周期T;函数ytan(x),xk,kZ(A,ω,为常数,且A≠0,
2

ω>0)的周期T.

abc
17、正弦定理2R.
sinAsinBsinC
18、余弦定理
(1)a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.
b2c2a2a2c2b2a2b2c2
(2)cosA;cosB;cosC
2bc2ac2ab
13:.
111
19、面积定理(1)Sahbhch(h、h、h分别表示a、b、c边上的高).
2a2b2cabc
111
(2)SabsinCbcsinAcasinB.
222
20、三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),
112233
xxxyyy
则△ABC的重心的坐标是G(123,123).
33
六、平面向量
:
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
:每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与
OA+OB=OC记OA=(x,y),OB=(x,y)
减法1112
则OAOB=(x+x,y+y)
OBOA=AB1212

OBOA=(x-x,y-y)
2121

OA+AB=OB
实数与
AB=λa记a=(x,y)
向量的
λ∈R
乘积则λa=(λx,λy)


两个向ababcosa,b记a(x,y),b(x,y)
量的数1122

量积则a²b=xx+yy
1212


加法:①abba(交换律);②(ab)ca(bc)(结合律)

实数与向量的乘积:①(ab)ab;②()aaa;③(a)()a

两个向量的数量积:①a²b=b²a;②(λa)²b=a²(λb)=λ(a²b);③

(a+b)²c=a²c+b²c
注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确
迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
22

例如(a±b)2=a2abb
:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,

即若A(x,y),则OA=(x,y);当向量起点不在原点时,向量AB坐标为终点坐标减去起点

坐标,即若A(x,y),B(x,y),则AB=(x-x,y-y)
11222121
14:.


符号语言:a//bab(b0)


坐标语言为:设非零向量ax,y,bx,y,则a∥b(x,y)=λ(x,y),即
11221122
xy-xy=0,
1221


符号语言:abab0

坐标语言:设非零向量ax,y,bx,y,则abxxyy0
11221212
⑷两个向量数量积的重要性质:
22
①a|a|2即|a|a(求线段的长度);

②abab0(垂直的判断);

ab
③cos(求角度)。
ab

④bcos叫做向量b在a方向上的投影(如图).
七、数列
(一)数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作a,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),
n
在第二个位置的叫第2项,„„,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作a;
n
(2)数列的一般形式:a,a