文档介绍：关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理();
2. 单调有界定理();
3. 区间套定理();
4. 有限覆盖定理()
5. 聚点定理()
6. 柯西收敛准则();
在实数系中这六个命题是相互等价的。
第七章
在有理数系中这六个命题不成立。
1. 确界原理
在实数系中,任意非空有上(下)界的数集必有上(下)确界。
2. 单调有界定理;
在实数系中,单调有界数列必有极限。
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ ]}是一个区间套,则在实数系中存在唯一的点
所以区间套定理在有理数系不成立。
反例:
4. 有限覆盖定理
在实数系中,闭区间[a, b]的任一开覆盖H,必可从H中选出有限个开区间覆盖[a, b]。
反例:
5. 聚点定理
实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例:
S是有界的无限有理点集,在实数域内的聚点为e,
因而在有理数域没有聚点。
致密性定理:
在实数系中,有界数列必含有收敛子列。
反例:
其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
6. 柯西收敛准则
反例:
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
几个概念:
区间套(闭区间套),
聚点(3个等价定义及其等价性的证明),
开覆盖(有限开覆盖)。
举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。
但不存在属于所有开区间的公共点。
举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。
但不能从中选出有限个开区间盖住(0, 1)。
因为右端点始终为1,左端点有限个中必有一个最小者,
构成了开区间(0, 1)的一个开覆盖,
积分法
原函数
选
择
u
有
效
方
法
基
本
积
分
表
第一换元法
第二换元法
直接
积分法
分部
积分法
不定积分
几种特殊类型
函数的积分
第八章不定积分